概率论第七周作业
习题三T27
设 ξ 的密度函数 p(x) ,求下列随机变量的分布密度函数:
(1) η=ξ−1 ;
(2) η=tanξ ;
(3) η=∣ξ∣ .
设 η 的分布函数为 G(x) ,ξ 的分布函数为 F(x) . η 的分布密度函数为 q(x) .
(1)
P{η<x}=P{ξ1<x}=⎩⎨⎧P{ξ>x−1}+P{ξ<0},P{ξ<0},P{x−1<ξ<0},x>0x=0x<0
则对于分布函数有
G(x)=⎩⎨⎧1−F(x−1)+F(0),F(0),F(0)−F(x−1),x>0x=0x<0
对 x 进行求导可得:
q(x)=x21p(x1),x=0
(2)
P{η<x}=k=−∞∑+∞P{kπ−2π<ξ<kπ+arctanx}
此时也就有
G(x)=k=−∞∑+∞[F(kπ+arctanx)−F(kπ−2π)]
此时对 x 求导:
q(x)=dxdk=−∞∑+∞[F(kπ+arctanx)−F(kπ−2π)]
由 F(x) 可导,交换次序有
q(x)=k=−∞∑+∞1+x2p(kπ+arctanx)=1+x21k=−∞∑+∞p(kπ+arctanx)
(3) 仅需考虑 x⩾0 的情形,当 x<0 时 P{η<x} 显然恒为 0 .
P{η<x}=P{−x<ξ<x}
从而
G(x)=F(x)−F(−x)
求导可得
q(x)=p(x)+p(−x),x⩾0
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Remark.
随机变量函数的分布函数求法最通用的永远都是:直接写出分布函数并考虑求导. 需要注意的单纯是分类讨论.