跳转至

概率论第七周作业

习题三T27

ξ\xi 的密度函数 p(x)p(x) ,求下列随机变量的分布密度函数:

(1) η=ξ1\eta = \xi^{-1}

(2) η=tanξ\eta =\tan \xi

(3) η=ξ\eta = |\xi| .

η\eta 的分布函数为 G(x)G(x)ξ\xi 的分布函数为 F(x)F(x) . η\eta 的分布密度函数为 q(x)q(x) .
(1)

P{η<x}=P{1ξ<x}={P{ξ>x1}+P{ξ<0},x>0P{ξ<0},x=0P{x1<ξ<0},x<0 P \left\lbrace \eta < x \right\rbrace = P \left\lbrace \frac{1}{\xi}< x \right\rbrace = \begin{cases} P \left\lbrace \xi > x^{-1} \right\rbrace + P \left\lbrace \xi <0 \right\rbrace, & x>0 \\ P \left\lbrace \xi<0 \right\rbrace , & x=0 \\ P \left\lbrace x^{-1}<\xi<0 \right\rbrace, & x<0 \end{cases}

则对于分布函数有

G(x)={1F(x1)+F(0),x>0F(0),x=0F(0)F(x1),x<0 G(x) = \begin{cases} 1 - F(x^{-1})+F(0), & x>0 \\ F(0), & x=0 \\ F(0)-F(x^{-1}), & x<0 \end{cases}

xx 进行求导可得:

q(x)=1x2p(1x),x0 q(x) = \dfrac{1}{x^2}p\left(\dfrac{1}{x}\right), x\neq 0

(2)

P{η<x}=k=+P{kππ2<ξ<kπ+arctanx} P \left\lbrace \eta <x \right\rbrace = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} P \left\lbrace k \pi- \frac{\pi}{2}< \xi < k \pi+ \arctan x \right\rbrace

此时也就有

G(x)=k=+[F(kπ+arctanx)F(kππ2)] G(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \left[F(k \pi+ \arctan x)- F\left(k \pi - \frac{\pi}{2}\right)\right]

此时对 xx 求导:

q(x)=ddxk=+[F(kπ+arctanx)F(kππ2)] q(x) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \left[F(k \pi+ \arctan x)- F\left(k \pi - \frac{\pi}{2}\right)\right]

F(x)F(x) 可导,交换次序有

q(x)=k=+p(kπ+arctanx)1+x2=11+x2k=+p(kπ+arctanx) q(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \dfrac{p(k \pi + \arctan x)}{1+x^2} = \dfrac{1}{1+x^2}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}p(k \pi + \arctan x)

(3) 仅需考虑 x0x \geqslant 0 的情形,当 x<0x< 0P{η<x}P \left\lbrace \eta<x \right\rbrace 显然恒为 00 .

P{η<x}=P{x<ξ<x} P \left\lbrace \eta < x \right\rbrace = P \left\lbrace -x < \xi < x \right\rbrace

从而

G(x)=F(x)F(x) G(x) = F(x)-F(-x)

求导可得

q(x)=p(x)+p(x),x0 q(x) = p(x)+ p(-x), x \geqslant 0

\square

Remark.

随机变量函数的分布函数求法最通用的永远都是:直接写出分布函数并考虑求导. 需要注意的单纯是分类讨论.

本页面内容是否对您有帮助?

评论