实变函数作业 - 6

第二章T15

若 $F$ 是 $[0,1]$ 中的闭集且 $m(F)=1$ ，试问是否一定 $F=[0,1]$ ？
若 $G$ 是 $(0,1)$ 中开集且 $m(G)=1$. 试问是否一定 $G=(0,1)$ ？

(1) 结论正确，先证明 $(0,1) \subset F$ ，考虑反证法，若存在 $x_0\in (0,1)$ 且 $x_0\not\in F$ ，那么由于 $F$ 为闭集，从而 $F^c$ 为开集，因此存在 $\delta>0$ 使得 $B(x_0,\delta) \subset F^c$ ，然而 $m(B(x_0,\delta)) > 0$ ，从而使得 $m(F)<1$ ，矛盾！

故由 $(0,1) \subset F$ 且 $F$ 为闭集可知 $F = [0,1]$ .

(2) 考虑 $G = \left(0,\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{2},1\right) = G_1\cup G_2$ . 由于 $G_1$ 和 $G_2$ 不交且测度均为 $\dfrac{1}{2}$. 则 $m(G) = \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2} = 1$ ，此时 $G\neq (0,1)$ . $\square$

第二章 T20

设 $\left\lbrace E_k \right\rbrace_{k \geqslant 1}$ 是 $[0,1]$ 中测度皆为 $1$ 的可测集列，求证：
$$ m\left(\bigcap_{k=1}^\infty E_k\right)=1. $$

证明：
由于 $m(E_k) = 1$ 且 $\displaystyle\bigcap_{k=1}^\infty E_k \subseteq E_k$ ，容易知道：

\[ m\left(\bigcap_{k=1}^\infty E_k\right) \leqslant 1. \]

假设 $m\left(\bigcap\limits_{k=1}^\infty E_k\right) < 1$ ，那么设

\[ D = [0,1]-\bigcap\limits_{k=1}^\infty E_k = \bigcup_{k=1}^\infty \left([0,1]-E_k\right) \]

那么有 $m(D)>0$ .

但 $m([0,1]-E_k) = m([0,1])-m(E_k)=0$ 为零测集，下面利用如下的引理即可引出 $m(D)=0$ 的矛盾.

引理：零测集的可数并仍为零测集.

设 $D_1,D_2,\cdots,D_n,\cdots$ 均为零测集，那么对于 $D_k$ ，覆盖它的开区间族测度的和可以有：

\[ m^*(D_k) = \sum\limits_{n} \ell(I_n) < \frac{\varepsilon}{2^k} \]

故

\[ m^*\left(\bigcup_{n=1}^\infty D_n\right) \leqslant \sum\limits_{n=1}^\infty m^*(D_n) = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^k} = \varepsilon \]

由 $\varepsilon$ 的任意性可得零测集的可数并仍为零测集. 那么就有 $m(D)=0$ ，这和我们的假设矛盾，故命题成立. $\square$

第二章 T21

设 $\left\lbrace E_k \right\rbrace_{k \geqslant 1}$ 是 $[0,1]$ 中的可测集列，使得 $m(E_k)\to 1 (k \to \infty)$ ，求证：对任何 $0< \lambda < 1$ ，有子列 $\left\lbrace E_{k_n} \right\rbrace_{n \geqslant 1}$ 使得 $m\left(\bigcap\limits_{n=1}^\infty E_{k_n}\right) > \lambda$.

考虑证明：

\[ m\left([0,1]-\bigcap_{n=1}^\infty E_{k_n} \right) = m\left(\bigcup_{n=1}^\infty ([0,1]-E_{k_n})\right) < 1- \lambda \]

由于 $m(E_k)\to 1$ ，故对 $[0,1]-E_{k}$ ，可找到子列使得

\[ m^*([0,1]-E_{k_n}) < (1-\lambda) \frac{1}{2^n} \]

故由外测度的次可加性有：

\[ \begin{aligned} m\left(\bigcup_{n=1}^\infty ([0,1]-E_{k_n})\right) &< \sum\limits_{n=1}^\infty m^*([0,1]-E_{k_n})\\ &= \sum\limits_{n=1}^\infty (1-\lambda) \frac{1}{2^n} \\ &= 1-\lambda \end{aligned} \]

$\square$

第二章 T22

设 $\left\lbrace E_k \right\rbrace_{1 \leqslant k \leqslant n}$ 是 $[0,1]$ 中的 $n$ 个可测集，满足 $\sum\limits_{k=1}^n m(E_k) > n-1$ ，求证：
$$ m\left(\bigcap\limits_{k=1}^n E_k\right)>0. $$

考虑补集：

\[ \begin{aligned} m\left([0,1]-\bigcap_{k=1}^n E_k\right) &= m\left[\bigcup_{k=1}^n ([0,1]-E_k)\right] \\ & < \sum\limits_{k=1}^n [m([0,1]) - m(E_k)] \\ &= n-\sum\limits_{k=1}^n m(E_k) \\ &< n-(n-1) = 1 \end{aligned} \]

从而命题成立. $\square$

第二章 T24

设 $m^*(E)< \infty$ ，证明下列三个结论等价：

$E$ 可测；
存在 $E$ 的闭子集列 $F_n$ ，使得 $m(F_n)\to m^*(E)$ ；
存在 $E$ 的可测子集列 $\left\lbrace E_n \right\rbrace$ 使得 $m(E_n)\to m^*(E)$.

先证明 (1) $\Rightarrow$ (2) ：

如果 $E$ 本身即为闭集，那么取 $F_n = E$ 即可. 若不然，则根据教材推论，存在包含于 $E$ 中的 $F_\sigma$ 集 $F$ 使得 $m^*(E-F)=0$ ，那么有

\[ F = \bigcup_{k=1}^\infty F^{(k)} \]

其中 $F^{(k)}$ 均为闭集，此时令

\[ F_n = \bigcup_{k=1}^n F^{(k)} \]

因此 $m(F_n)\to m(F)$ . 由于 $E$ 可测，且 $F$ 可测，那么 $m(E) = m(E-F)+m(F) = m(F)$ ，故 $F_n$ 满足题意.

对于 (2) $\Rightarrow$ (3) : 由于闭子集自然是可测子集，所以这个步骤显然.

最后证明 (3) $\Rightarrow$ (1) ：根据条件 $m^*(E_n)\to m^*(E)$ ，即对于 $\forall \varepsilon >0$ ，存在 $N>0$ ，任意 $n > N$ 有

\[ m^*(E)-m^*(E_n) < \varepsilon \]

从而利用外测度的次可加性：

\[ m^*(E-E_n)+m^*(E_n) < m^*(E)< m^*(E_n)+\varepsilon \]

故 $m^*(E-E_n)< \varepsilon$ ，令 $F = \bigcup E_n$ ，由于 $E_n$ 均可测可知 $F$ 可测，由 $\varepsilon$ 的任意性可知 $E-F$ 为零测集，从而 $E = (E-F)\cup F$ 可测. $\square$

第二章 T25

设 $m^*(E)< \infty$ ，求证：存在 $G_\delta$ 集 $H$ ，使得 $H \supset E$ ，$m^*(E)=m(H)$.

由于 $m^*(E)< \infty$ ，故对于任意的 $\varepsilon>0$ ，存在一个开区间列 $\left\lbrace I_n \right\rbrace$ 使得

\[ E \subset \bigcup I_n \text{ and }m^*(E)+ \varepsilon > \sum\limits_n \ell (I_n) \]

取 $\varepsilon_m = \dfrac{1}{m}$ ，那么每次都有 $\left\lbrace I_n^{(m)} \right\rbrace$ ，令

\[ H_m = \bigcup_n I_n^{(m)} \]

于是 $E \subset H_m$ ，且 $H_m$ 为开集，令 $H = \bigcap\limits_{m=1}^\infty H_m$ ，此时 $H$ 为 $G_\delta$ 集且 $E \subset H$ ，易知 $m^*(E)\leqslant m^*(H) = m(H)$ 成立，而由于

\[ m(H) \leqslant m(H_m) = m\left(\bigcup_k I_k^{(m)}\right) \leqslant \sum\limits_n \ell (I_n) < m^*(E)+\varepsilon_m \]

对于任意的 $m$ 均成立，因此 $m(H) \leqslant m^*(E)$ ，故 $m(H)=m^*(E)$ . $\square$

实变函数作业 - 6

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