NKU 实变函数第一章习题

符号约定

书本符号/术语	笔记符号/术语
$\mathbf{Q}$	$\mathbb{Q}$
$\overline{\overline{A}}$	$\\| A\\|$
完全一一映射	双射
一一映射	单射
$a$	有理数集的基数
$c$	连续统势

证明具体集合为可数集

构造可数集合

第一章T8

设 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的实函数，若有 $M>0$ ，使对任何有限个两两不等的实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 都有：
$$ \left|\sum\limits_{i=1}^n f(x_i)\right|\leqslant M $$
求证：$\left\lbrace x: f(x)\neq 0 \right\rbrace$ 是至多可数集.

首先，为证明这个集合为可数集，我们需要将其转化为更好分解的形式：

\[ \left\lbrace x: f(x)\neq 0 \right\rbrace = \left\lbrace x: f(x)>0 \right\rbrace \cup \left\lbrace x: f(x)<0 \right\rbrace \]

我们仅需考虑 $\left\lbrace x: f(x)>0 \right\rbrace$ 的部分，考虑直接进行如下的构造：

\[ \left\lbrace x: f(x)>0 \right\rbrace = \bigcup_{i=1}^\infty \left\lbrace x: f(x)> \frac{1}{n} \right\rbrace \]

对于每个单独的 $\left\lbrace \displaystyle x: f(x)> \frac{1}{n} \right\rbrace$ ，它都是有限集，如果不然，那么可以从中取出 $nM$ 个点使得

\[ \sum\limits_{i=1}^{nM} f(x_i) > M \]

出现矛盾，因此上述的集合都是有限集，这就说明原集合是可数个有限集的并，从而为至多可数集. $\square$

构造可数集的并

第一章T18

求证：有限 $n$ 元数列全体及有理系数多项式全体都是可数集.

有限 $n$ 元数列设有 $m$ 项，则可以给定双射：

\[ \begin{aligned} &f: \left\lbrace a_1, a_2,\cdots , a_m \right\rbrace = \\ &(m,a_1,a_2,\cdots,a_m)\in \mathbb{N}\times \left\lbrace 0,1,\cdots,n-1 \right\rbrace\times \cdots \left\lbrace 0,1,\cdots,n-1 \right\rbrace \end{aligned} \]

这是 $\mathbb{N}$ 与可数个有限集的直积，自然是可数的，从而从 $m=1$ 并到 $\infty$ 即可. 多项式全体也是类似的. $\square$

注意

注意不要弄混了并和直积的可数性关系.

具体双射构造

Hilbert 旅馆与区间之间的双射

第一章 T22(i)

具体构造下列集合之间的一个双射：

(i) $[0,1]$ 和 $(0,1)$

下面我们来回顾一下 Hilbert 旅馆的思想：

当一个客人来到已经住满了的无限旅馆，只需要让每个客人都挪动到后一个房间；
无限个客人来到时，只需要每个客人都挪动到自己房间号两倍的对应房间.
我们现在来看这个问题，就能发现这类问题的一个通用解法：找到对应的来客，并且找到适当的挪动策略即可。

解：
我们发现 $0,1$ 是有限的两个来客，此时只需要找到对应的挪动策略。设映射为 $f$ ，那么我们首先设 “旅馆” 为

\[ A = \left\lbrace 0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots , \frac{1}{n},\cdots \right\rbrace \]

对 $x\not\in A$ ，统一 $f(x) = x$ ，而对于 $x\in A$ ，我们只需让每个客人往后挪动两位即可：

\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2} ,x=0\\ \dfrac{1}{x+2}, x \in \mathbb{N}_+ \\ \end{cases} \]

此时我们构造的 $f$ 已经满足题意. $\square$

HINT

事实上这个方法已经是构造区间之间双射的通法，只需要找到“来客”和移动策略即可. 其中的可数集建议选用已知通项公式的集合，如果使用 $\mathbb{Q}$ 这样的可数集，就不方便进行挪动了.

拓展

现在将条件限制：我们能否构造出一个对应的连续双射？

不可数集及其直积间的双射

这个部分主要是对角线方法和小数表示的应用.

第一章 T22(ii)

具体构造下列集合之间的一个双射：

(ii) $(0,1]$ 与 $(0,1]\times (0,1]$

这两个集合显然都具有连续统势，在连续统势一节当中，我们对于直积的处理是使用对角线方法.

对于 $(0,1]$ ，我们首先利用小数表示将其与二元数列全体进行一一对应，也就是：

\[ \begin{aligned} &x = \sum\limits_{i=1}^\infty \frac{x_i}{2^i}, \\ &f(x) = (x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots) \end{aligned} \]

$f$ 显然为双射.

然后我们再将 $(0,1]\times (0,1]$ 作一一对应：

\[ \begin{aligned} x_1^{(1)},x_2^{(1)},\cdots \\ x_1^{(2)},x_2^{(2)},\cdots \end{aligned} \]

这里直接按照每列数，对于一个 $(x_1,x_2)\in (0,1]\times (0,1]$ ，都有

\[ g: (x_1,x_2) \to (x_1^{(1)},x_1^{(2)},x_2^{(1)},\cdots) \]

因此构造出了一个到二元数列的双射，因此将两个映射复合有 $fg^{-1}$ 为两个集合间的完全一一映射. $\square$

集合基数的比较

利用 Bernstein 定理

第一章习题 T23

求证：$\mathbb{R}$ 上的实函数全体有基数 $2^c$ .

HINT

在连续统势或者超越连续统势的集合基数出现的情况下，考虑 Bernstein 定理会相对较为简单.

考虑利用 Bernstein 定理，设 $\mathbb{R}$ 上的实函数全体为 $\mathcal{F}$ .

首先证明 $|\mathcal{F}|\geqslant 2^c$ ，考虑特征函数 $\chi_A$ ，其中 $A\subset \mathbb{R}$ ，从而对于 $\mathbb{R}$ 的任何子集都有 $\mathcal{F}$ 中的 $\chi_A$ 与其对应.

反过来证明 $|\mathcal{F}| \leqslant 2^c$ ，考虑函数的点集合：

\[ \left\lbrace (x,f(x)): x\in A, A\subset \mathbb{R} \right\rbrace \]

从而对于任意 $f\in \mathcal{F}$ ，都有 $\mathbb{R}^2$ 的子集与之对应，由于 $\mathbb{R}\sim \mathbb{R}^2$ ，从而得证. $\square$

书本符号/术语	笔记符号/术语
\(\mathbf{Q}\)	\(\mathbb{Q}\)
\(\overline{\overline{A}}\)	\(\\| A\\|\)
完全一一映射	双射
一一映射	单射
\(a\)	有理数集的基数
\(c\)	连续统势