Intro & 集合序列的极限

Intro

实变函数主要研究课题：Lebesgue 积分
解决的主要问题：运算符换序的问题. 在数学分析当中，广义积分的运算符换序问题较为复杂.

例如，对于广义积分的如下问题：

\[ \int_a^{+\infty}\mathrm{d}x\int_c^\infty f(x,y)\mathrm{d}y = \int_c^\infty \mathrm{d}y\int_a ^\infty f(x,y)\mathrm{d}x \]

等式成立需要什么条件？在 Riemann 积分的背景下这个问题相对比较困难，因此在实变函数当中引入 Lebesgue 积分.

回顾 Riemann 积分：

\[ \lim_{\max(x_k-x_{k-1})\to 0} \sum\limits_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k-x_{k-1}) \]

存在有限 时（注意，在实变函数当中，极限趋于无穷我们也说存在）就是 Riemann 积分的值，否则 Riemann 不可积.

而 Lebesgue 积分相当于“横着切”，写为如下的表达式：

\[ \sum\limits_{k=1}^n |\left\lbrace x: y_{k-1}\leqslant f(x)< y_k \right\rbrace| y_{k-1} \]

在此仅作一个感觉上的介绍，在后续会有更深入的讨论.

集合

集合的基本运算与包含关系

该部分冗余部分较多，参考教材即可.

集族

设 $X$ 是集合，由 $X$ 的某些子集构成的集合称为集族，设 $\mathcal{X}$ 为 $X$ 上的集族，那么 $\mathcal{X}$ 中所有集合的并称为 $\mathcal{X}$ 的并，即为：

\[ \bigcup \left\lbrace A: A\in \mathcal{X} \right\rbrace = \left\lbrace x: \exists A\in X, \text{s.t. } x\in A\right\rbrace \]

集族的交基本类似，不做赘述.

集合序列的极限

集合序列的单调性

设集合序列 $\left\lbrace A_n \right\rbrace_{n\geqslant1}$ ，那么称若

\[ A_1\subset A_2 \subset \cdots \subset A_n\subset \cdots \]

则该集合序列单调增，反向则为单调减.

集合序列的上下极限

现在任意给定一个集合序列 $\left\lbrace A_n \right\rbrace_{n\geqslant 1}$ ，构造两个集合序列为

\[ B_n = \bigcup_{k=n}^\infty A_k , C_n = \bigcap_{k=n}^\infty A_k \]

根据单调性的定义，我们不难判断 $\left\lbrace B_n \right\rbrace$ 是单调减的，而 $\left\lbrace C_n \right\rbrace$ 是单调增的，此时我们就有集合序列的上下极限的定义：

定义：集合序列的上极限和下极限

我们把 $\left\lbrace B_n \right\rbrace$ 的交称为 $\left\lbrace A_n \right\rbrace$ 的上极限，记为：
$$ \varlimsup_{n\to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k $$
相应的，下极限为 $\left\lbrace C_n \right\rbrace$ 的并，记为：
$$ \varliminf_{n\to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k $$

我们该如何理解这个概念？对于 $B_n$ ，可以理解为 $n$ 趋近无穷的过程是不断去掉 $A_n$ 的一个过程，因此最终的上极限就是无穷多个 $A_k$ 都包含的集合，里面的元素存在于无穷多个 $A_k$ 当中.

反之对于下极限也是一样，有限多个 $A_k$ 不含有的元素构成了下极限，这个在后续会进行讨论.

例题

考虑集合 $A_n = \left\lbrace \dfrac{m}{n} : m\in \mathbb{Z} \right\rbrace$ ，证明： $\displaystyle\varlimsup_{n\to \infty}{A_n} = \mathbb{Q}$ ， $\displaystyle\varliminf_{n\to \infty}{A_n} = \mathbb{Z}$ .

首先 $\mathbb{Z}\subset A_n \subset \mathbb{Q}$ 可知

\[ \mathbb{Z} \subset \varliminf_{n\to \infty}{A_n} , \varlimsup_{n\to \infty}{A_n} \subset \mathbb{Q} \]

先证明 $\displaystyle\varliminf_{n\to \infty}{A_n} \subset \mathbb{Z}$ ，此时考虑设 $\displaystyle x\in \varliminf_{n\to \infty}{A_n}$ ，存在 $n$ 使得 $x\in A_n\cap A_{n+1}$ （实际上也就是存在 $n_0$ 使得 $x\in \displaystyle\bigcap_{k=n_0}^\infty A_k$ ），此时我们有

\[ x = \frac{m_{n}}{n} = \frac{m_{n+1}}{n+1} \]

其中 $m_n$ 和 $m_{n+1}$ 是整数，那么根据差比性质有 $x = m_{n+1}-m_n\in \mathbb{Z}$ ，从而包含关系成立.

再证明 $\mathbb{Q} \subset \displaystyle\varlimsup_{n\to \infty}{A_n}$ ，设 $x\in \mathbb{Q}$ ，此时有 $x = \dfrac{p}{q}, p,q\in \mathbb{Z}$ . 那么对于任何 $n$ ，总有

\[ \dfrac{p}{q} = \dfrac{np}{nq} \in \displaystyle\bigcup_{k=n}^\infty A_k \]

进而可以证明包含关系成立，从而题中结论成立. $\square$