实变函数 - 映射
由于映射在数学分析里面已经相对透彻了，在这里只进行特征函数的讨论.
特征函数
对于每个集合 \(A\) ，都有特征函数：
\[
\chi_A(x) =
\begin{cases}
1, x\in A, \\
0, x\not\in A.
\end{cases}
\]
利用特征函数，实质上能得到集合运算的等价表达与性质：
- 包含性质：
- \(A=B\iff \chi_A = \chi_B\) .
- \(A \subset B \iff \chi_A \leqslant \chi_B\) .
- 交并计算：
- \(\displaystyle A = \bigcup_{i \in \Lambda} A_i \iff \chi_A = \max_{i \in \Lambda}\chi_{A_i}\) .
- \(\displaystyle A = \bigcap_{i \in \Lambda} A_i \iff \chi_A = \min_{i \in \Lambda}\chi_{A_i}\) .
- 补集性质：
- \(A = B^c \iff \chi_A = 1- \chi_B\) .
- 对称差：
- \(\chi_{A \Delta B} = |\chi_A - \chi_B|\) .