Lebesgue 外测度

广义实数

这个部分只有一个部分需要特别注意，就是在数学分析当中我们认为的不定式：

\[ 0\cdot \infty \]

此时直接认为结果是 $0$ ，当然，这其实也不反直觉，在数学分析当中上述式子为不定式是由于 $0$ 它并不是真正的 $0$ ，而是趋近于 $0$ 的部分.

此外，也要注意简写 $+\infty$ 为 $\infty$ .

引言：测度

对一般的区间，我们可以定义其长度为两个端点的距离，例如：

\[ \ell ([0,1]) = 1, \ell ((0,1)) = 1 , \ell ([1,+\infty)) = \infty \]

此时我们希望将其定义到更复杂的实数集上面去，设 $\Omega$ 为一个集族，$E$ 为其中一个实数子集，满足三个条件：

所有区间都是 $\Omega$ 的元；
$E\in \Omega$ 可得 $E^c= \mathbb{R}-E \in \Omega$ ；
$\Omega$ 中任意至多可数元的并是 $\Omega$ 中的元.

给定一个 $m(E)$ 表示 $E$ 的长度，自然，我们希望它满足如下的条件：

对任意的 $E$ ， $m(E)$ 为非负的广义实数.
对区间 $I$ ，有 $m(I) = \ell (I)$ .
$m$ 对不交集可列可加，即 $\left\lbrace E_n \right\rbrace$ 为两两不交的 $\Omega$ 子集，则 $m\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty m(E_n)$ .

Lebesgue 外测度

Lebesgue 外测度的定义

定义：Lebesgue 外测度

对每一个实数子集 $E$ ，定义 $m^*(E)$ 为 $E$ 的Lebesgue 外测度，其中
$$ m^*(E) = \inf\left\lbrace \sum\limits_{n}\ell(I_n): \left\lbrace I_n \right\rbrace_{n \geqslant1} \text{ 为开区间且 }E\subset \bigcup_{n}I_n \right\rbrace $$

例

证明可数集的 Lebesgue 外测度为 $0$ .

设 $E = \left\lbrace x_n \right\rbrace$ 为 $\mathbb{R}$ 中的可数集，因此对于任意实数 $\varepsilon>0$ ，可以考虑定义开区间

\[ I_n = \left(x_n - \frac{\varepsilon}{2^{n+1}},x_n + \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}\right) \]

此时其区间长度为 $\ell(I_n) =\dfrac{1}{2^n}$ ，所以对其求和可得 $\varepsilon$ ，即

\[ m^*(E) \leqslant \varepsilon \]

由 $\varepsilon$ 的任意性可知 $m^*(E) = 0$ . $\square$

外测度的性质

首先是单调递增性：

$E_1 \subset E_2$ 则 $m^*(E_1)\leqslant m^*(E_2)$ .

$E_2$ 的开覆盖自然都是 $E_1$ 的开覆盖，由定义即可推得.

定理：区间的外测度

若 $I$ 是一个区间，则 $m^*(I) = \ell (I)$ .

对有界闭区间 $I = [a,b]$ ，由于其为紧集，开覆盖必有有限子覆盖，从而

\[ \sum\limits_{n=1}^\infty \ell(I_n)> \ell (I) \]

即有 $m^*(I)\geqslant \ell(I)$ . 另一方面，考虑 $I \subset (a- \varepsilon, b+ \varepsilon)$ ，其中 $\varepsilon$ 为任意正实数，那么根据定义有

\[ m^* (I) \leqslant \ell (a-\varepsilon,b+\varepsilon) = b-a+2\varepsilon \]

但 $\varepsilon$ 任意，从而 $m^*(I) \leqslant b-a =\ell (I)$ ，因此二者相等.

对左开右闭区间，考虑

\[ [a+\varepsilon,b]\subset (a,b] \subset [a,b] \]

根据单增性即可得到结论.

对无界区间 $[a,+\infty)$ ，任意 $b> a$ 都有

\[ m^*(I) > b-a \]

从而为 $\infty$ ，其他类型的区间同理. $\square$

Remark.

这里面利用 $\varepsilon$ 对区间进行伸缩的方法非常常用.

定理：次可加性

若 $\left\lbrace E_n \right\rbrace_{n \geqslant 1}$ 是任意实数子集族，则
$$ m^*\left(\bigcup_{n}E_n\right) \leqslant \sum\limits_{n}m^*(E_n). $$

如果右侧为 $\infty$ ，则结论自然成立.

若不然，则对任意的 $\varepsilon>0$ ，每一个 $n$ 都有 $m^*(E_n)< \infty$ ，因而存在开覆盖有

\[ E_n \subset \bigcup_{k}I_k^{(n)} \text{ and } \sum\limits_{k}\ell(I_k^{(n)})< m^*(E_n)+ \dfrac{\varepsilon}{2^n} \]

因此有

\[ \bigcup_{n}E_n \subset \bigcup_n\bigcup_k I_k^{(n)} \]

根据 $m^*$ 的定义可知

\[ \begin{aligned} m^*\left(\bigcup_{n}E_n\right)&\leqslant \sum\limits_{n}\sum\limits_{k}\ell (I_k^{(n)}) \\ &< \sum\limits_{n}\left[m^*(E_n)+ \frac{\varepsilon}{2^n}\right]=\sum\limits_{n}m^*(E_n)+\varepsilon \end{aligned} \]

因此根据 $\varepsilon$ 的任意性，定理得证. $\square$

Lebesgue 外测度

广义实数

引言：测度

Lebesgue 外测度

Lebesgue 外测度的定义

外测度的性质

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