Lebesgue 可测集与 Lebesgue 测度

Lebesgue 可测集

定义：Lebesgue 可测

设 $E$ 是一个实数子集，若对任何实数子集 $A$ 有
$$ m^*(A) = m^*(A\cap E) + m^*(A\cap E^c) $$
则称 $E$ 为 Lebesgue 可测集. 简称可测集.

这个等号实际上由 Lebesgue 外测度部分的次可加性，可以知道 $\leqslant$ 是显然的，在实际的证明过程当中，只有 $\geqslant$ 的方向是需要证明的.

例：外测度为 $0$ 的集合为零测集

若 $m^*(E)=0$ ，则 $E\in \Omega$ 并且 $m(E)=0$.

此时对于任何的 $A$ ，都有

\[ 0 \leqslant m^*(A\cap E) \leqslant m^*(E) = 0. \]

从而 $m^*(A \cap E) =0$ ，由于 $A\supset A\cap E^c$ ，从而由定义可知 $m(E)=0$ . $\square$

区间测度

定理：区间长度等于区间测度

若 $E$ 是区间，则 $E\in \Omega$ 且 $m(E) = \ell (E)$ .

此时 $E^c = \mathbb{R}-E = E_1\cup E_2$ ，其中 $E_1$ 和 $E_2$ 可能是空集（也就是 $E$ 左侧或者右侧趋近于无穷的时候）.

利用定义，对于任意 $A$ ，仅需考虑 $m^*(A)<\infty$ 的时候，此时对于任何的 $\varepsilon>0$ ，存在开区间列 $\left\lbrace I_n \right\rbrace_{n \geqslant 1}$ 使得

\[ A\subset \bigcup_{n}I_n \text{ and } m^*(A)+ \varepsilon > \sum\limits_n \ell(I_n) \]

考虑 $A\cap E \subset \bigcup\limits_{n}(I_n \cap E)$ ，且 $I_n\cap E$ 为区间，利用次可加性有

\[ \begin{aligned} m^*(A\cap E) &\leqslant m^* \left[\bigcup_n (I_n \cap E)\right] \leqslant\sum\limits_{n} m^*(I_n \cap E) \\ &= \sum\limits_{n}\ell (I_n \cap E) \end{aligned} \]

类似推理可得 $E_1,E_2$ 的情形.

现在对于每一个 $n$ ，都有 $I_n\cap E_1,I_n\cap E_2,I_n \cap E$ 是三个两两不相交的区间，它们的并是区间 $I_n$ ，易知

\[ \ell(I_n\cap E_1)+\ell(I_n\cap E_2)+\ell(I_n \cap E) = \ell (I_n) \]

因此

\[ m^*(A\cap E) +m^*(A\cap E_1)+m^*(A\cap E_2) \leqslant\sum\limits_n\ell (I_n) < m^*(A)+\varepsilon \]

又 $A\cap E^c = (A\cap E_1)\cup (A \cap E_2)$ ，从而由次可加性有

\[ m^*(A\cap E^c)\leqslant m^*(A\cap E_1)+ m^*(A\cap E_2) \]

即

\[ m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c) \leqslant m^*(A) \]

从而由 $A$ 的任意性知可测，对区间 $E$ 来说 $m^*(E) = \ell (E)$ ，从而测度即为长度. $\square$

交并区间的测度

引理

两个可测集的交为可测集，一列两两不相交的可测集的并为可测集.

仅在这里写并集的证明：
令

\[ E = \bigcup_{n} E_n \]

对于任何 $A$ ，我们首先用归纳法证明对于任何 $n \geqslant 1$ 有

\[ m^*(A) \geqslant \sum\limits_{k=1}^n m^*(A \cap E_k) +m^*(A \cap E^c)\tag{2.1} \]

当 $n=1$ 的时候，从 $E_1^c \supset E^c$ 以及 $E_1$ 可测可得：

\[ \begin{aligned} m^*(A) &\geqslant m^*(A\cap E_1)+m^*(A\cap E_1^*) \\ &\geqslant m^*(A\cap E_1) +m^*(A\cap E^c) \end{aligned} \]

因此 $n=1$ 的归纳基础成立，现在假设对 $n$ 以及任何 $A$ ，式 $(2.1)$ 成立，任意取定 $A$ ，用 $A \cap E^c_{n+1}$ 代替 $A$ 可得

\[ m^*(A\cap E_{n+1}^c) \geqslant \sum\limits_{k=1}^n m^*(A\cap E_{n+1}^c \cap E_k) + m^*(A\cap E_{n+1}^c \cap E^c) \]

由于 $\left\lbrace E_n \right\rbrace$ 是两两不相交的，从而 $E_{n+1}^c\cap E_k = E_k$ ，另一方面 $E_{n+1}^c\cap E^c = E^c$ ，有

\[ m^*(A\cap E_{n+1}^c) \geqslant \sum\limits_{k=1}^n m^*(A\cap E_k) + m^*(A \cap E^c) \]

又从 $E_{n+1}$ 可测可得

\[ m^*(A)\geqslant m^*(A\cap E_{n+1}) + m^*(A\cap E_{n+1}^c) \]

因此结合可得

\[ m^*(A)\geqslant \sum\limits_{k=1}^{n+1} m^*(A\cap E_k) +m^*(A\cap E^c) \]

根据归纳法可知 $(2.1)$ 成立. 令 $n\to \infty$ 可得

\[ m^*(A) \geqslant \sum\limits_k m^*(A\cap E_k) + m^*(A\cap E^c) \]

又根据 $E = \bigcup\limits_k E_k$ 可得

\[ \sum\limits_{k} m^*(A\cap E_k) \geqslant m^*(A\cap E). \]

因此 $m^*(A) \geqslant m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)$ . $\square$

由上述的引理可以推得：

定理

可测集的补集为可测集（可直接由定义推得）；
至多可数个可测集的并集和交集都是可测集.

可数可加性

定理：可数可加性

若 $\left\lbrace E_n \right\rbrace_{n \geqslant 1}$ 是一列两两不相交的可测集，则
$$ m\left(\bigcup_{n}E_n\right) = \sum\limits_{n}m(E_n) $$

可以根据这个性质证明 Cantor 完备集 $C$ 是零测集.

并集的可测性由引理已经知道，在引理的证明中将 $(2.1)$ 中的 $A$ 取为 $E$ ，从而有

\[ m(E) \geqslant \sum\limits_n m(E_n) \]

而相反方向显然成立. $\square$

测度的极限和集合列的极限

定理

当可测集列 $\left\lbrace E_n \right\rbrace_{n \geqslant1}$ 满足下面两条件之一时有
$$ \lim_{n\to \infty} m(E_n) = m\left(\lim_{n\to \infty} E_n\right) $$

$\left\lbrace E_n \right\rbrace$ 单增；
$\left\lbrace E_n \right\rbrace$ 单减并且 $m(E_1)< \infty$ .

(1) 此时有

\[ \lim_{n\to \infty} E_n = \bigcup_n E_n \]

若 $\lim\limits_{n\to \infty}m(E_n) = \infty$ ，则显然成立，所以只需讨论 $\lim\limits_{n \to \infty}m(E_n)< \infty$ 的情形，此时若令 $E_0 = \varnothing$ ，则由于

\[ \bigcup_{n=1}^\infty E_n = \bigcup_{n=1}^\infty (E_n - E_{n-1}) \]

且 $E_n-E_{n-1}$ 对任意的 $n$ 是两两不相交的，根据可数可加性有

\[ m\left(\lim_{n\to \infty} E_n \right) = m\left[ \bigcup_n (E_n-E_{n-1})\right] = \sum\limits_n [m(E_n)-m(E_{n-1})] \]

最后得到 $\lim\limits_{n\to \infty} m(E_n)$ .

(2) 利用 $\lim\limits_{n\to \infty}E_n = \bigcap\limits_n E_n$ 且 $\left\lbrace E_1-E_n \right\rbrace$ 单调增即可. $\square$

Lebesgue 可测集与 Lebesgue 测度