可测集用开集和闭集来逼近

可测集的逼近

定理

下列三条等价：

$E$ 可测；
对任何 $\varepsilon>0$ ，有包含 $E$ 的开集 $G$ 使 $m^*(G-E)< \varepsilon$.
对任何 $\varepsilon>0$，有含于 $E$ 中的闭集 $F$ 使得 $m^*(E-F)< \varepsilon$ .

(1) $\Rightarrow$ (2) ：
由于 $E$ 可测，我们分两种情形证明：
➀ $E$ 的测度 $m(E)< \infty$ ，此时有开区间列

\[ E \subset \bigcup I_n \text{ and } m(E)+\varepsilon > \sum\limits \ell (I_n) \]

令 $G = \bigcup I_n$ ，则 $G$ 为开集，$E \subset G$ ，且

\[ m(G) \leqslant \sum\limits \ell (I_n) < m(E)+ \varepsilon \]

从而 $m(G-E) = m(G)-m(E) < \varepsilon$ ，此时在有限的情形下我们证明了结论.

➁ $E$ 的测度为 $\infty$ ，此时令

\[ E_n = E\cap [n,n+1), n=0,\pm 1,\cdots \]

则 $\left\lbrace E_n \right\rbrace$ 为测度有限而两两不交的可测集列，且

\[ E = \bigcup_n E_n \]

现在对每个整数 $n$ ，由 ➀ 可知存在开集 $G_n$ 使得

\[ E_n \subset G_n \text{ and } m(G_n - E_n) < \frac{\varepsilon}{2^{|n|+2}} \]

令 $G = \bigcup G_n$ ，则 $G$ 为开集，有 $G \supset \bigcup E_n = E$ ，另一方面：

\[ \bigcup_n G_n - \bigcup_n E_n \subset \bigcup_n (G_n-E_n) \]

从而

\[ m(G-E) \leqslant \sum\limits_n m(G_n - E_n) < \sum\limits_n \frac{\varepsilon}{2^{|n|+2}}< \varepsilon . \]

从而结论成立.

对 (1) $\Rightarrow$ (3) ：
此时 $E^c$ 可测，由上段证明，有包含 $E^c$ 的开集 $G$ 使得 $m(G-E^c)< \varepsilon$ ，但 $G-E^c = E-G^c$ ，所以 $m(E-G^c)< \varepsilon$ ，而 $F = G^c$ 是包含在 $E$ 中的闭集，故 (3) 成立.

对 (2) $\Rightarrow$ (1) ：
此时对任何 $n \geqslant 1$ ，有包含 $E$ 的开集 $G_n$ ，使 $m^*(G_n-E)< \dfrac{1}{n}$ ，令 $G = \bigcap\limits_n G_n$ ，则 $G$ 是包含 $E$ 的可测集，此外由于对任何 $n \geqslant 1$ ，$G-E \subset G_n -E$ ，所以

\[ m^*(G-E)\leqslant m^*(G_n - E) < \frac{1}{n} \]

这样 $m^*(G-E)=0$ ，从而 $G-E$ 是可测的，于是 $E=G-(G-E)$ 是可测的，这样结论成立.

(3) $\Rightarrow$ (1) 和 (2) $\Rightarrow$ (1) 是类似的，不多作赘述. 综上定理证毕. $\square$

定义：$F_\delta$ 集、$G_\delta$ 集

若 $E$ 能表示为可数个开集的交，则称 $E$ 为 $G_\delta$ 集；若 $E$ 能表示为可数个闭集的并，则称 $E$ 为 $F_\sigma$ 集.

推论

下面四条等价：

$E$ 可测；
任意给定 $\varepsilon>0$ ，存在可测集 $F$ 和 $G$ 使得 $$ F \subset E \subset G \text{ and } m(G-F)< \varepsilon. $$
存在包含 $E$ 的 $G_\delta$ 集 $G$ 使得 $m^*(G-E)=0$ ；
存在包含于 $E$ 中的 $F_\sigma$ 集 $F$ ，使得 $m^*(E-F)=0.$

定理

设 $E$ 可测且 $m(E)< \infty$ ，则对任何 $\varepsilon>0$ ，存在有限个端点都为有理数的开区间 $I_k$ ，$1 \leqslant k \leqslant n$ 使得 $m(E \Delta G)< \varepsilon$ ，其中 $G = \bigcup\limits_{k=1}^n I_k$.

可测集用开集和闭集来逼近

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