测度的平移不变性以及不可测集的例

平移

定义：平移

设 $E \subset \mathbb{R}$ 以及 $y\in \mathbb{R}$ ，则
$$ E_y = \left\lbrace x+y: x\in E \right\rbrace $$
称为 $E$ 关于 $y$ 的平移.

这个定义还是比较符合直觉的，相当于给整个集合在数轴上平移 $y$ 个单位长度.

引理 2.4.1

设 $E$ 和 $F$ 是两个实数子集，则对任何 $y$ ，

(1) 对 $E\cap F_y$ ，设 $x\in E\cap F_y$ ，存在 $z\in F$ 使得 $z+y=x$ ，即 $z = x-y$ 满足 $z\in E_{-y}\cap F$ ，因此 $x\in (E_{-y}\cap F)_y$ ，反向基本同理.

(2) $x\in (E^c)_y$ ，则存在 $z\in E^c$ 使得 $z+y = x$ ，也就是说 $x-y\notin E$ ，因此 $x\notin E_y$ ，故 $x\in (E_y)^c$ ，反向基本同理.

(3) 若有

\[ E \subset \bigcup_{k=1}^\infty I^{(k)} \]

取每个开区间的平移 $I_y^{(k)}$ ，有

\[ E_y \subset \bigcup_{k=1}^\infty I_y^{(k)} \]

$\square$

定理：测度的平移不变性

设 $E$ 可测，则对任何实数 $y$ ，$E_y$ 也可测并且 $m(E_y) = m(E)$ .

下面构造一个不可测集的例子，对每一个 $x\in [0,1]$ ，令

\[ E(x) = \left\lbrace y\in [0,1]: y-x \in \mathbb{Q} \right\rbrace \]

如下性质是显然的：

$x\in E(x)$ 且 $[0,1] = \bigcup \left\lbrace E(x): x\in [0,1] \right\rbrace$ .
对 $[0,1]$ 中的任何两点 $x_1$ 和 $x_2$ ，或者 $E(x_1) = E(x_2)$ ，或者 $E(x_1)\cap E(x_2)=\varnothing$ .
$E(x_1) = E(x_2)$ 的充要条件为 $x_1-x_2\in \mathbb{Q}$ .

我们不妨设 $E(x_1) =E(x_2)$ 为一个等价关系 $\sim$ . 因此相等的集对应一个等价类，容易理解存在 $F \subset [0,1]$ 使得

\[ \left\lbrace E(x): x\in F \right\rbrace \]

的并为 $[0,1]$ ，并且对任何不相等的 $x_1,x_2\in F$ ，$x_1\not\sim x_2$ . 此时这个 $F$ 是不可测的.

证明：
令 $\left\lbrace r_n \right\rbrace_{n \geqslant1}$ 是 $[-1,1]$ 中的有理数全体，并令 $F_n$ 是 $F$ 关于 $r_n$ 的平移，即

\[ F_n = \left\lbrace x+r_n: x\in F \right\rbrace \]

这个集合有如下两个性质：

假设 $F$ 可测，那么 $F_n$ 也可测且 $m(F_n) = m(F)$. 根据 $F_n$ 的第一个性质，$\left\lbrace F_n \right\rbrace$ 两两不相交，因此根据第二个性质和可数可加性有：

\[ 1 = m([0,1])\leqslant m\left(\bigcup_n F_n\right) = \sum\limits_{n=1}^\infty m(F_n) \leqslant m([-1,2]) = 3. \]

有

\[ 1 \leqslant \sum\limits_{n=1}^\infty m(F) \leqslant 3 \]

但 $m(F)$ 是常值，任何取值该不等式都无法成立. $\square$