代数、\(\sigma\) 代数与 Borel 集

代数与 \(\sigma\) 代数

定义：代数、\(\sigma\) 代数

设 \(X\) 为一个非空集合，\(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个非空集族，若 \(\mathcal{F}\) 满足下面条件中的 (1) 和 (2) 则称 \(\mathcal{F}\) 为一个代数，若满足条件 (1) 和 (3) ，则称为一个 \(\sigma\) 代数：

(1) 对任何 \(F\in \mathcal{F}\) ，\(F^c = X-F\in \mathcal{F}\) ；

(2) 对任何 \(F_1,F_2\in \mathcal{F}\) ，\(F_1\cup F_2 \in \mathcal{F}\) ；

(3) 对任何 \(\left\lbrace F_n \right\rbrace_{n \geqslant 1}\subset F\) ，\(\bigcup\limits_n F_n \in \mathcal{F}\).

即补集封闭、两两并封闭则为代数；补集封闭、可数并封闭则为 \(\sigma\) 代数. 下面的定理说明，也可以用交集来刻画代数和 \(\sigma\) 代数.

定理

设 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个代数，则：

\(X\) 和 \(\varnothing\) 都是 \(\mathcal{F}\) 中的元.
对任何 \(F_1,F_2\in \mathcal{F}\) ，有 \(F_1-F_2\in \mathcal{F}\) 以及 \(F_1\cap F_2\in \mathcal{F}\) ；
在 \(\sigma\) 代数的基础上，对 \(\mathcal{F}\) 中的任何一列元 \(\left\lbrace F_n \right\rbrace_{n \geqslant 1}\) 有可列交封闭：\(\bigcap\limits_n F_n \in \mathcal{F}\).

Borel 集及其性质

产生的代数

定义：产生的代数

包含 \(\mathcal{F}\) 的所有代数的交仍然为一个代数，称为由 \(\mathcal{F}\) 产生的代数. 记为 \(A(\mathcal{F})\). 包含 \(\mathcal{F}\) 的所有 \(\sigma\) 代数的交仍为一个 \(\sigma\) 代数，称为由 \(\mathcal{F}\) 产生的 \(\sigma\) 代数. 记为 \(B(\mathcal{F})\) .

容易知道 \(A(\mathcal{F})\) 是包含 \(\mathcal{F}\) 的最小代数，\(B(\mathcal{F})\) 为包含 \(\mathcal{F}\) 的最小 \(\sigma\) 代数.

Borel 集

定义：Borel 集

实轴所有开区间产生的 \(\sigma\) 代数称为 Borel \(\sigma\) 代数，记为 \(\mathcal{B}\) ，\(\mathcal{B}\) 中的元称为 Borel 集.

简单来说，Borel 集是由开集和闭集进行至多可数次交、并、补、差运算产生的.

Borel 集的性质

定理：Borel 集可测

可测集全体 \(\Omega\) 是一个包含所有开区间的 \(\sigma\) 代数，但 \(\mathcal{B}\) 是包含所有开区间的最小 \(\sigma\) 代数，所以 \(\mathcal{B}\subset \Omega\) ，因此 Borel 集为可测集. \(\square\)

需要注意的是，尽管 \(\mathcal{B} \subset \Omega\) 成立，但是 \(\Omega \subset \mathcal{B}\) 不成立，在之后会构造一个非 Borel 集的可测集.

定理：严格单增连续函数保持 Borel 集

设 \(h\) 为 \(\mathbb{R}\) 上严格单增连续函数，则 \(h\) 把 Borel 集映射为 Borel 集.

总结

本章其实主要结论就是：可测集 = Borel 集 \(\cup\) 零测集.