可测函数的定义与有关性质

可测函数的定义

定义：可测函数

设函数 $f$ 的定义域是可测集 $D$ ，若对任何实数 $\alpha$ ，集合
$$ \left\lbrace x\in D: f(x)> \alpha \right\rbrace $$
是可测集，则称 $f$ 是 $D$ 上的可测函数.

通常我们把定义当中的这个集合记为 $\left\lbrace f> \alpha \right\rbrace$ ，$\left\lbrace f \geqslant \alpha \right\rbrace, \left\lbrace f=\alpha \right\rbrace$ 等的意义都是类似的.

例

证明：区间上的连续函数可测.

设 $D$ 为题中的区间，若 $D$ 为开区间，那么根据教材定理 1.5.15 ，可知 $\left\lbrace f> \alpha \right\rbrace$ 是一个开集，从而开区间上的连续函数可测.

如果 $D$ 为其他区间，$D^\circ$ 是开集，它和 $D$ 至多相差两个点，因此 $D$ 上连续函数可测. $\square$

可测函数的性质

考虑可测集 $D$ ，以及其特征函数：

\[ \left\lbrace \chi_D>\alpha \right\rbrace = \begin{cases} \varnothing, & \alpha \geqslant 1, \\ D, & 0 \leqslant \alpha< 1, \\ \mathbb{R}, & \alpha<0 . \end{cases} \]

根据这个表达式有如下的结果：

定理

可测集特征函数可测.

下面的定理给出了其他的等价证明可测函数的方法：

定理

设函数 $f$ 的定义域是可测集 $D$ ，则下面的四个结论等价：

$f$ 在 $D$ 上可测；
对任何实数 $\alpha$ ，$\left\lbrace f \geqslant \alpha \right\rbrace$ 可测.
对任何实数 $\alpha$，$\left\lbrace f<\alpha \right\rbrace$ 可测.
对任何实数 $\alpha$，$\left\lbrace f \leqslant\alpha \right\rbrace$ 可测.

这个定理的证明是这一节主要方法的体现：利用现有的可测集运算出新的可测集.

\[ \left\lbrace f \geqslant \alpha \right\rbrace = \bigcap_{n=1}^\infty \left\lbrace f> \alpha- \frac{1}{n} \right\rbrace \]

其余的集合类似证明. $\square$

定理

设函数 $f$ 和 $g$ 都在可测集 $D$ 上可测，则

$\left\lbrace f=\lambda \right\rbrace,\left\lbrace \alpha< f< \beta \right\rbrace$ 等 $f$ 取值在区间内的都是可测集，其中 $\lambda$ 为广义实数.
$\left\lbrace f>g \right\rbrace$ 是可测集.

(1) 由

\[ \left\lbrace f=\lambda \right\rbrace = \left\lbrace f \geqslant \lambda \right\rbrace - \left\lbrace f> \lambda \right\rbrace \]

和

\[ \left\lbrace f = \infty \right\rbrace = \bigcap_{n=1}^\infty \left\lbrace f>n \right\rbrace \]

出发即可证明.

(2) 设 $\left\lbrace r_n \right\rbrace$ 为有理数全体，则

\[ \left\lbrace f>g \right\rbrace = \bigcup_{n=1}^\infty [\left\lbrace f>r_n \right\rbrace\cap \left\lbrace g <r_n \right\rbrace] \]

根据有理数的稠密性可知定理成立. $\square$

可测函数的定义与有关性质

可测函数的定义

可测函数的性质

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