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可测函数的其他性质

简单函数

定义：几乎处处

设 \(D\) 为可测集，\(P(x)\) 是一个与 \(D\) 中每一点都有关的命题，若除了 \(D\) 的一个测度为 \(0\) 的子集 \(E\) 外，对每一个 \(x\in D-E\) ，命题 \(P(x)\) 成立，则我们说 \(P(x)\) 在 \(D\) 上几乎处处成立.

我们简写 a.e. (almost every) 用来表示几乎处处成立. 例如，对于 \(\chi_\mathbb{Q}\) ，我们记

\[ \chi_\mathbb{Q}(x) = 0\quad \mathrm{a.e.}\quad x\in \mathbb{R} \]

来表示 \(\chi_\mathbb{Q}(x)=0\) 几乎处处成立.

定义：简单函数

若 \(f\) 为可测集 \(D\) 上的一个可测函数，且 \(f(D)\) 是由有限个实数 \(a_1,\cdots,a_n\) 组成的，那么称 \(f\) 为 \(D\) 上的简单函数.

对于简单函数 \(f\) ，可以记

\[ E_k = \left\lbrace f= a_k \right\rbrace, k=1,2,\cdots,n \]

由于 \(f\) 可测，可知 \(E_k\) 可测. 记 \(\chi_k\) 为 \(E_k\) 的特征函数，那么 \(f\) 可以表示为

\[ f(x) = \sum\limits_{k=1}^n a_k \chi_k(x) \]

若 \(f,g\) 均为 \(D\) 上的简单函数，那么设 \(\lambda\) 为实数，有

  • \(\lambda f,|f|\) 均为简单函数
  • \(fg,f+g,f-g\) 均为简单函数.

简单函数对可测函数的逼近

定理：简单函数对可测函数的逼近

设 \(f\) 在可测集 \(D\) 上可测，则存在 \(D\) 上的简单函数列 \(\left\lbrace f_n \right\rbrace_{n \geqslant 1}\) ，使得对每一个 \(x\in D\) ，\(\left\lbrace f_n(x) \right\rbrace_{n \geqslant 1}\) 收敛于 \(f(x)\) . 此外，

  1. 当 \(f\) 非负时，对每一个 \(x\in D\) ，\(\left\lbrace f_n(x) \right\rbrace_{n \geqslant 1}\) 单增收敛于 \(f(x)\) ；
  2. 当 \(f\) 有界时，\(\left\lbrace f_n(x) \right\rbrace_{n \geqslant 1}\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(f(x)\).

对任意的 \(n \geqslant 1\) ，令

\[ f_n(x) = \begin{cases} n, & f(x) \geqslant n, \\ \dfrac{k-1}{2^n}, & \dfrac{k-1}{2^n} \leqslant f(x) < \dfrac{k}{2^n} , & k=-n2^n +1 , -n2^n +2 ,\cdots,n2^n , \\ -n , & f(x)< -n. \end{cases} \]

很明显 \(\left\lbrace f_n(x) \right\rbrace_{n \geqslant 1}\) 是一列简单函数，现在固定 \(x\in D\) .

若 \(f(x)=\infty\) ，那么 \(f_n(x)=n\) 恒成立，此时 \(f_n(x)\to f(x)\) 成立，\(f(x)=- \infty\) 情形类似.

若 \(f(x)\) 是一个实数，则当 \(n\) 充分大的时候，存在惟一的 \(k_n\) 使得 \(-n2^n +1 \leqslant k_n \leqslant n2^n\) ，且

\[ \dfrac{k_n-1}{2^n} \leqslant f(x) < \dfrac{k_n}{2^n} \]

于是 \(f_n(x)=\dfrac{k_n-1}{2^n}\) ，\(0 \leqslant f(x)-f_n(x)< \dfrac{1}{2^n}\) . 令 \(n\to \infty\) 可得 \(f_n(x)\to f(x)\) .

特别地，设 \(f\) 非负，考虑 \(f(x)< \infty\) ，设 \(n_0 \leqslant f(x)<n_0+1\) ，这里 \(n_0 \geqslant 0\) . 现若 \(1 \leqslant n \leqslant n_0\) ，则 \(f(x) \geqslant n\) ，\(f_n(x)=n\) ，即 \(\left\lbrace f_n(x) \right\rbrace_{1 \leqslant n \leqslant n_0}\) 单增，若 \(n > n_0\) ，此时有惟一的 \(k\) ，\(1 \leqslant k \leqslant n\cdot 2^n\) 使得

\[ f_{n_0}(x) = n_0 \leqslant \frac{k-1}{2^n} \leqslant f(x) < \dfrac{k}{2^n}. \]

于是由 \(f_n(x)\) 的定义可知 \(f_{n+1}(x) \geqslant f_n(x) \geqslant f_{n_0}(x)\) . 这样 \(\left\lbrace f_n(x) \right\rbrace\) 单增.

最后，若 \(f\) 有界，\(M\) 是 \(|f|\) 的一个上界，则当 \(n > M\) 时，\(\left\lbrace f \geqslant n \right\rbrace\) 及 \(\left\lbrace f< -n \right\rbrace\) 都是空集，从而对一切 \(x\in D\) 有

\[ |f_n(x)-f(x)| < \dfrac{1}{2^n} \]

于是一致收敛成立. \(\square\)

以上定理结合简单函数的性质，有如下重要性质：

定理：可测函数的运算

设 \(f\) 和 \(g\) 都是可测集 \(D\) 上的可测函数，\(\lambda\) 为实数，则 \(\lambda f, |f|,fg\) 都是可测函数，此外若 \(f+g,f-g\) 几乎处处有定义，则它们也是可测的.

证明：
当 \(\lambda \neq 0\) 时，\(\forall \alpha\in \mathbb{R}\) 有

\[ \left\lbrace \lambda f > \alpha \right\rbrace = \begin{cases} \left\lbrace f >\dfrac{\alpha}{\lambda} \right\rbrace, & \lambda >0 \\ \left\lbrace f < \dfrac{\alpha}{\lambda} \right\rbrace, & \lambda<0 . \end{cases} \]

\(\lambda=0\) 的时候显然可测.

对于 \(\left\lbrace |f| > \alpha \right\rbrace\) ，有

\[ \left\lbrace |f| > \alpha \right\rbrace = \begin{cases} D , & \alpha<0 \\ \left\lbrace f > \alpha \right\rbrace\cup \left\lbrace f < - \alpha \right\rbrace, & \alpha \geqslant 0 \end{cases} \]

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