练习 14.1
T1
求下列各级数的和：
(1) \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)}\)
(2) \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{2n-1}{2^{n}}\)
(3) \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n})\)
仅给出思路，答案的求和公式可以代值验证：
(1) 考虑裂项：
\[
\frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{(n+1)\left(n+2\right)}- \frac{1}{(n+2)(n+3)} \right]
\]
(2) 考虑错位相减，或者按照如下形式裂项：
\[
\frac{2n-1}{2^{n}} = \frac{-2n-3}{2^{n+1}} - \frac{-2n-1}{2^{n}}
\]
(3) 令 \(A_{n} = \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\) ，则该级数即为 \(\lim_{n\to \infty}\limits A_{n} -A_{1}\) .
T2
设 \(a_{n}\leqslant c_{n} \leqslant b_{n}\) ，且级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\) 和 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}\) 均收敛，求证：\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_{n}\) 收敛.
考虑 Cauchy 收敛准则，令相应的部分和为 \(A_{n},B_{n},C_{n}\) ，根据题意有
\[
A_{n}-A_{m} \leqslant C_{n}-C_{m} \leqslant B_{n}-B_{m}\quad (n > m)
\]
令 \(m,n\to \infty\) ， \(|C_{n}-C_{m}|\to 0\) ，根据数项级数的 Cauchy 收敛准则可知该级数收敛. \(\square\)
Remark.
注意，本题结论很有意思，因为它比极限的两边夹更好用：只需要两边的级数收敛而不需要收敛到一样的值.