练习 14.2
T1
（由于内容过多省略，仅给出做法和答案）
- 收敛，利用达朗贝尔判别法；
- 收敛，利用达朗贝尔判别法；
- 收敛，利用达朗贝尔判别法；
- 收敛，利用达朗贝尔判别法；
- 收敛，利用 Cauchy 判别法；
- 收敛，利用 Cauchy 判别法；
- 收敛，利用达朗贝尔判别法；
- 收敛，利用 Cauchy 判别法；
- 收敛，利用阶的判别法；\(\left(\sin^{2} \dfrac{1}{n}\sim \dfrac{1}{n^{2}}\right)\) .
- 收敛，利用阶的判别法；
- 发散，利用阶的判别法；
- 发散，利用阶的判别法；\(\left(\dfrac{1}{n\sqrt[n]{n}} \sim \dfrac{1}{n}\right)\) .
- 收敛，利用比较判别法或者积分判别法；
- 收敛，利用 Cauchy 判别法；
- 发散，利用比较判别法；（和调和级数比较）
- 发散，通项不符合级数收敛的必要条件；（即收敛于 \(1\) 而非 \(0\)）
- 收敛，利用阶的判别法；（将 \(\cos\) 部分进行 Maclaurin 展开）
- 收敛，利用阶的判别法；（将 \(\ln\) 部分进行 Maclaurin 展开）
- 收敛，利用阶的判别法；（先有理化，再利用 (18) 结论）
- 发散，利用积分判别法；
- 发散，放缩或利用 Stirling 公式；
T1(16)
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^{n+\frac{1}{n}}}{\displaystyle\left(n + \frac{1}{n}\right)^{n}} \]
\[
\lim_{n\to \infty}\dfrac{n^{n+\frac{1}{n}}}{\displaystyle\left(n + \frac{1}{n}\right)^{n}} = \lim_{n\to \infty} \dfrac{n^{\frac{1}{n}}}{\displaystyle\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}}=1
\]
\[
\exp \left\lbrace n \ln \left(1+ \frac{1}{n^{2}}\right) \right\rbrace \to 1
\]
违反必要条件，级数发散. \(\square\)
T1(18)
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n}- \ln \left(1+ \frac{1}{n}\right)\right) \]
考虑 \(n\to \infty\) ，此时考虑 Maclaurin 展开：
\[
\frac{1}{n} - \ln \left( 1+ \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}-\left(\frac{1}{n}- \frac{1}{2} \frac{1}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right) = \frac{1}{2} \frac{1}{n^{2}}
\]
因此由阶的判别法，它是收敛的. \(\square\)
T1(19)
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{n}}- \sqrt{\ln \left(1+ \frac{1}{n}\right)}\right) \]
第一反应是有理化：
\[
\dfrac{\displaystyle\frac{1}{n}- \ln \left(1+ \frac{1}{n}\right)}{\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+ \sqrt{\ln \left(1+ \frac{1}{n}\right)}\right)} \sim \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}
\]
因此根据阶的判别法，该级数收敛. \(\square\)
T1(21)
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)} \]
考虑
\[
\frac{1}{\ln (n!)} > \frac{1}{\ln(n^{n})} = \frac{1}{n\ln n}
\]
即可证明发散，也可直接使用 Stirling 公式+阶的判别法. \(\square\)