泛函分析 8.27 - 第一课 && Preliminaries

泛函分析课程信息

• 成绩组成：平时成绩 (30%) + 期末成绩 (70%) ，其中平时成绩的作业部分只需交上即可，对错不影响成绩.
• 教材：讲义

Questions

Zorn's Lemma

• 请说明偏序、定向集、全序关系的定义；
• 阐述 Zorn 引理和选择公理.

Vector Space

• 给出向量空间的定义；
• 说明线性无关、张成以及 Hamel 基的定义；
• 利用 Zorn 引理证明：任何向量空间一定有 Hamel 基.

Metric Space

• 给出度量、度量空间的定义；
• 说明 Cauchy 列和完备度量空间的定义；
• 给出可分集的定义，并举出可分集和不可分集的例子.

Topological Space

• 说明拓扑空间的定义并说明为什么度量空间是拓扑空间；
• 给出等价度量的定义；
• 说明相对拓扑的概念；
• 说明定义：
  • 邻域、拓扑基、邻域基；
  • 第一可数集、第二可数集.
• 给出 Hausdorff 空间的定义.
• 说明拓扑空间中连续映射的定义，在某点连续的定义.

Coverage and Compact Set

• 阐述 Lindelöf 定理.
• 给出紧集的定义和 Heine-Borel 定理的阐述.
• 说明局部紧的定义.

符号约定

• 定义域 (domain) ：\(\mathcal{D}(f)\) ；
• 集合 \(X\) 的幂集 \(\mathcal{P}(X)\) ；
• 集合 \(U\) 的内部：\(\mathrm{int}(U)\) ，外部：\(\mathrm{ext}(U)\) ；

Zorn 引理 (Zorn's Lemma)

以下的部分均为集合论的相关内容，可参考 计算机集合论笔记.

偏序与定向集

定义：偏序关系 (partial order)

设 \(\preceq \subset I \times I\) 为二元关系（集合），并记 \(x \preceq y\) 当且仅当 \((x,y)\in \preceq\) ，若 \(\preceq\) 满足

1. （自反性）若 \(x\preceq x\) ，则 \(x=x\) .
2. （反对称性）若 \(x\preceq y\) 且 \(y\preceq x\) ，则 \(x=y\) .
3. （传递性）若 \(x\preceq y\) 且 \(y\preceq z\) ，则 \(x\preceq z\).

则称 \(\preceq\) 为偏序关系，且用 \((I,\preceq)\) 有序对表示有偏序关系的集合.

定义：定向集 (direct)

对于偏序集 \((I,\preceq)\) ，若 \(\forall x,y\in I\) ，\(\exists z\in I\) 使得 \(x \preceq z\) 且 \(y \preceq z\) ，则称 \((I,\preceq)\) 为定向集.

上述定义可以很简单地说：定向集（也称有向集）是每对元素都有上界的偏序集，它保证了上界的存在性.

下面给出偏序关系和定向集的例子：

• 通常的 \(\mathbb{R}\) 上的 \(\leqslant\) 关系就是一个偏序关系.
• 对于任意的幂集 \(\mathcal{P}(X)\) ，\(\subseteq\) 就是一个偏序关系.
• 字典序 (lexicographical order)：在 \(\mathbb{R}^{2}\) 上定义 \(\leqslant\) 为：\((x_{1},y_{1})\leqslant (x_{2},y_{2})\) 当且仅当 \(x_{1}\leqslant x_{2}\) 或 \(x_{1}=x_{2},y_{1}\leqslant y_{2}\) .
• 函数延拓 (extension)：在函数集 \(\mathcal{F}\) 上定义 \(\leqslant\) 为：\(f \leqslant g\) 当且仅当 \(\mathcal{D}(f) \subseteq \mathcal{D}(g)\) 且 \(f(x)=g(x),\forall x\in \mathcal{D}(f)\) . \(g\) 为函数 \(f\) 的延拓.

引入教材 Example 1.1.5 有

例：教材 Example 1.1.5

给定 \(f\in C[0,1]\) ，定义 \(\mathcal{A}\) 为 \([0,1]\) 上的被 \(f\) 限制的阶跃函数全体，即 \(\varphi(x) = \sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i}\mathbb{1}_{A_{i}}\) 满足 \(\varphi(x) \leqslant f(x),\forall x\in [0,1]\). 我们定义关系 \(\preceq\) 为
$$ \varphi \preceq \psi \iff \varphi(x) \leqslant \psi(x),\forall x\in [0,1] $$
证明：\((\mathcal{A},\preceq)\) 为定向集.

先证明其为偏序关系：自反性显然，反对称性考虑 \(\varphi(x)-\psi(x)\) 恒为 \(0\) 即可，传递性由 \(\mathbb{R}\) 上 \(\leqslant\) 的传递性即证. 我们仅需找到任意函数对的一个上界即可，定义：

\[ (\varphi \lor \psi) (x) = \max \left\lbrace \varphi(x),\psi(x) \right\rbrace \]

它就是我们所要的上界，故为定向集. \(\square\)

全序关系

接下来给出一组较为简单的定义：我们记 \((X,\preceq)\) 为偏序集，且 \(Y \subset X\) .

• 元素 \(b\in X\) 称为 \(Y\) 的上界当且仅当 \(\forall y\in Y, y \preceq b\) . 记为 \(Y \preceq b\) .
• \(Y\) 的上界 \(z\in X\) 称为 \(Y\) 的上确界当且仅当 \(Y \preceq b \Rightarrow z\preceq b\) . 记为 \(z = \sup{Y}\).
• \(z\in Y\) 称为 \(Y\) 的极大值如果 \(\forall a\in Y,z\preceq a \Rightarrow z=a\) .

极大和最大

注意此处极大值不能理解为最大值，它们是不一样的概念.

我们可以定义一个如下所示的集合 \(S\)：

graph LR
A --> B --> D
A --> C --> E

其中 \(A\to B\) 表示 \(A \preceq B\) （图中省略自己到自己的箭头）. 我们可以证明 \((S,\to)\) 为偏序集，\(D\) 和 \(E\) 为极大元，但是不是最大元（因为 \(D\) 和 \(E\) 不能比较）.

定义：全序 (totally order) 和链 (chain)

\(X\) 中的链即为 \(X\) 的全序子集 \(C \subset X\)，全序的含义为：对任意的 \(x,y\in C\) ，它们之间可比较，也就是说 \(x \preceq y\) 或 \(y\preceq x\).

Zorn 引理与选择公理

定理：Zorn 引理 (Zorn's Lemma)

如果一个偏序集的每个全序子集都有上界，则它有极大元.

在泛函分析当中我们不讨论其证明和等价性，只需知道它与选择公理等价.

定理：选择公理 (Axiom of Choice)

给定任意一族非空集合，能同时从每个集合中选出一个元素.

线性空间（Vector Space）

这部分内容和高等代数的内容是相似的，不妨回头复习一下线性空间及其子空间的定义，在此不赘述.

但是在高等代数中，我们研究的仅为有限阶的线性空间，在泛函分析中，我们的研究对象将拓广到无穷维，因此相关概念需要一些变动.

首先是线性无关的概念.

定义：线性无关（linearly independent）（无限情形）

对线性空间 \(X\) 的任意子集 \(M\) ，若 \(M\) 的任意有限子集都是线性无关的，则称 \(M\) 线性无关.

也就是任意有限子集线性无关 \(\iff\) 无限集线性无关.

定义：张成的空间 (linear span)

称线性空间 \(X\) 的非空子集 \(M\) 中向量的所有线性组合组成的空间为 \(M\) 的张成，记为
$$ \mathrm{span}(M) = \left\lbrace \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i} v_{i}, \lambda_{i}\in \mathbb{K},v_{i}\in M, 1 \leqslant i \leqslant n,n\in \mathbb{N} \right\rbrace. $$

有了张成的概念之后，我们可以将有限维的基的概念拓广到无穷维，从而有 Hamel 基的概念.

定义：Hamel 基

对线性空间 \(X\) ，若其非空子集 \(B\) 线性无关且 \(\mathrm{span}(B) = X\) ，则称 \(B\) 为 \(X\) 的 Hamel 基（也称为基）.

Hamel 基的存在性可用 Zorn 引理进行证明.

度量空间 (Metric Space)

度量空间

定义：度量空间 (metric space)

定义有序对 \((X,d)\) 为度量空间，其中 \(X\) 为集合，\(d:X\times X \mapsto \mathbb{R}^{+}\) 为满足条件的二元函数：

1. \(d\) 是一个非负有限实值二元函数；
2. \(d(x,y)=0 \iff x=y\) ；
3. （对称性, symmetry）\(d(x,y) = d(y,x)\) ；
4. （三角不等式, triangle inequality） \(d(x,z) \leqslant d(x,y)+ d(y,z),\forall x,y,z\in X\).

\(d\) 称为该度量空间当中的度量 (metric)，若 \(d\) 不满足上述的 2 ，则称为伪度量 (pseudometric).

本章的基本内容在老师上课的时候跳过要求自学了. 但是作业里面有一道度量空间的问题.

在实际例子当中，只需要验证 \((X,d)\) 当中的 \(d\) 满足上述的四个条件即可. 事实上，难度基本集中于证明三角不等式的部分，它在一些相对抽象的度量空间中并没有那么好证明.

给出几个度量空间的例子：

• 离散度量

离散度量即对任意的非空集合 \(X\) ，定义度量为

\[ d(x,y) = \begin{cases} 0, & x=y \\ 1, & x\neq y \end{cases} \]

容易验证上述 \(d\) 是一个度量.

• 连续函数空间 \(C[a,b]\) 的度量

定义度量空间为 \((C[a,b],d)\) ，其中 \(d\) 定义为

\[ d(x,y) = \max_{t\in [a,b]}|x(t)-y(t)| \]

容易验证 \(d\) 为度量.

度量空间中的拓扑

定义度量之后，我们可以定义球和球面：开球 \(B(x_{0},r)\) 记为

\[ B(x_{0},r):= \left\lbrace x\in X : d(x,x_{0}) < r \right\rbrace \]

闭球 \(\overline{B}(x_{0},r)\) 即将上述的 \(<\) 改为 \(\leqslant\) . 球面 \(S(x_{0},r)\) 将上述 \(<\) 改为 \(=\) 即可.

接下来，我们继承在 \(\mathbb{R}^{n}\) 中已经学过的开集和闭集的概念，开集 \(M\) 即满足任意 \(x\in M\) 都存在 \(r\) 使得 \(B(x,r) \subset M\) . 闭集即定义为开集的补集.

邻域、内部、外部、闭包、极限点、孤立点在实变当中都已学过，在此不进行说明.

定义：可分集 (separable)

称一个集合 \(X\) 是可分的，若 \(X\) 存在可数的稠密子集.

例如，\(\mathbb{R}^{n}\) 都是可分的，因为 \(\mathbb{Q}^{n}\) 是可数的稠密子集.

Cauchy 列与完备度量空间

定义：收敛 (converge)

度量空间中的点列 \(\left\lbrace x_{n} \right\rbrace\) 收敛于 \(x_{0}\) 即为
$$ \lim_{n\to \infty} d(x_{n},x_{0}) = 0. $$

定义：Cauchy 列

若对于点列 \(\left\lbrace x_{n} \right\rbrace\) ，对任意的 \(\varepsilon>0\) ，存在 \(N\in \mathbb{N}\) 使得
$$ d(x_{n},x_{m}) < \varepsilon, \forall m,n >N $$
则称该点列为 Cauchy 列.

需要说明的是，一般的度量空间下，Cauchy 列和收敛列并不一定等价，也就是说 Cauchy 收敛准则不能推广到一般的度量空间当中去. 因此引入完备度量空间的概念.

定义：完备度量空间 (complete metric space)

称度量空间 \((X,d)\) 是完备 (complete) 的，如果其中的每个 Cauchy 列都收敛.

拓扑空间 (Topological Space)

拓扑空间的定义

定义：拓扑空间 (Topological Space)

给定集合 \(X\) 和一个开集族 \(\mathscr{T}\) ，若 \(\mathscr{T}\) 满足以下三条性质，则称 \((X,\mathscr{T})\) 为拓扑空间. 且 \(\mathscr{T}\) 为拓扑.

1. \(\varnothing,X\in \mathscr{T}\).
2. 若 \(X_{1},X_{2}\in \mathscr{T}\) 则 \(X_{1}\cap X_{2}\in \mathscr{T}\). （即开集的有限交仍为开集）
3. 若 \(X_\lambda\in \mathscr{T},\forall \lambda\in \Lambda\) ，则 \(\bigcup_{\lambda\in \Lambda}X_{\lambda} \in \mathscr{T}\). （即开集的任意并仍为开集）

对于两个拓扑 \(\mathscr{T}_{1}\) 和 \(\mathscr{T}_{2}\) ，如果 \(\mathscr{T}_{1}\subseteq \mathscr{T}_{2}\) ，则称 \(\mathscr{T}_{1}\) 作为拓扑粗于 (coarser) \(\mathscr{T}_{2}\) ，也称 \(\mathscr{T}_{2}\) 细于 (finer) \(\mathscr{T}_{1}\) .

等价度量与度量诱导的拓扑

在度量空间 \((X,d)\) 给定的情况下，我们可以定义出如下的几个集合：

• 开球：\(B(x_0,r) = \left\lbrace x| d(x,x_{0}) < r \right\rbrace\) .
• 闭球：\(\widetilde{B}(x_{0},r) = \left\lbrace x| d(x,x_{0}) \leqslant r \right\rbrace\) .
• 球面：\(S(x_{0},r) = \left\lbrace x| d(x,x_{0}) = r \right\rbrace\) .

将 \(\varnothing,X\) 和开球全体以及它们的有限交、任意并产生的集合统一放入 \(\mathscr{T}\) ，则 \((X,\mathscr{T})\) 就构成了一个拓扑空间，\(\mathscr{T}\) 称为由 \(d\) 度量诱导的拓扑.

此外，还可引入等价度量的概念.

定义：等价度量（equivalent metrics）

对于度量空间 \((X,d_{1}),(X,d_{2})\) ，若存在 \(\alpha,\beta>0\) 使得对于任意的 \(x,y\in X\) ，有
$$ \alpha d_{1}(x,y) \leqslant d_{2}(x,y) \leqslant \beta d_{1}(x,y),\forall x,y\in X $$
则称 \(d_{1},d_{2}\) 为等价度量.

等价度量诱导的拓扑是一致的.

拓扑子空间与相对拓扑

对于 \(Y \subseteq X\) ，其中 \(X\) 为拓扑空间时，\(Y\) 作为子空间，若它是拓扑空间，则其中的 \(U \subseteq Y\) 称为开集（或相对开集），如果存在 \(X\) 中的开集 \(O\) 使得 \(U = O\cap Y\) .

• 一个例子：\((0,1]\) 不是 \(\mathbb{R}\) 中的开集，但是 \([0,1]\) 中的相对开集，因为存在 \((0,2)\) 使得 \((0,1] = [0,1]\cap (0,2)\) .

通过这种方式诱导出来的拓扑称为相对拓扑或 \(Y\) 诱导的拓扑，即

\[ \mathscr{T}\cap Y := \left\lbrace O\cap Y: O\in \mathscr{T} \right\rbrace \]

邻域基、可数性

邻域、邻域基

定义：邻域 (neighborhood)

对于拓扑空间 \((X,\mathscr{T})\)，对 \(x\in X\) 和 \(V \subseteq X\) ，若存在开集 \(U \subseteq V\) 使得 \(x\in U\) ，则称 \(V\) 为 \(x\) 的邻域.

拓扑空间中的邻域有可能较大，也有可能较小，易知 \(X\) 就是 \(x\) 的一个开邻域.

定义：拓扑基 (base)

给定拓扑空间 \((X,\mathscr{T})\) ，对开集族 \(\mathfrak{B} \subseteq \mathscr{T}\) ，若对于任意 \(x\in X\) 以及 \(x\) 对应的每个邻域 \(U\) ，都存在 \(O \in \mathfrak{B}\) 使得
$$ x\in O \subseteq U $$
则称 \(\mathfrak{B}\) 为拓扑 \(\mathscr{T}\) 下的拓扑基.

定义：邻域基 (neighborhood base)

给定拓扑空间 \((X,\mathscr{T})\) 与点 \(x\in X\) ，对 \(x\) 的邻域族 \(\mathfrak{B}_{x}\) ，若对于 \(x\) 的每个邻域 \(U\) ，都存在 \(B\in \mathfrak{B}_{x}\) ，使得
$$ x\in B \subseteq U $$
则称 \(\mathfrak{B}_{x}\) 为 \(x\) 的邻域基.

注意，邻域基不需要其中的集合是开集，这是由于邻域不需要是开集.

第一可数、第二可数

定义：第一可数、第二可数 (first countable, second countable)

若拓扑空间 \(X\) 中的每个 \(x\) 都有可数的邻域基，则称 \(X\) 是第一可数的；若对 \(X\) 的拓扑有可数的拓扑基，则称 \(X\) 是第二可数的.

例：度量空间的可数性

证明：任意度量空间均为第一可数的.

给定度量空间 \((X,d)\) ，对任意的 \(x\) ，考虑如下的集族：

\[ \mathfrak{B}_{x}= \left\lbrace B\left(x,\frac{1}{n}\right): n\in \mathbb{N} \right\rbrace \]

则上述的集族为 \(x\) 的邻域基，故 \((X,d)\) 为第一可数的. \(\square\)

例：实数集的可数性

证明：\(\mathbb{R}\) 是第二可数的.

取所有的有理数列为 \(\left\lbrace r_{n} \right\rbrace\)，引入欧氏度量并取如下的拓扑基：

\[ B\left(r_{n},\frac{1}{m}\right) = \left\lbrace x: |x-r_{n}| < \frac{1}{m} \right\rbrace \]

取遍所有的 \(n\in \mathbb{N}\) 以及 \(m\in \mathbb{N}\) ，则对于任意的 \(x\in \mathbb{R}\) ，若 \(x\in \mathbb{Q}\) ，则对于任意 \(x\) 的邻域 \(U\)，总可以取到足够小的 \(m\) 使得 \(B\left(x,\frac{1}{m}\right) \subseteq U\) .

对 \(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) ，对于 \(x\) 的任意邻域，在其中总有有理数，因此可以利用有理数的取法进行说明. \(\square\)

Hausdorff 空间

定义：Hausdorff 空间 (Hausdorff Space)

一个拓扑空间 \((X,\mathscr{T})\) 称为 Hausdorff 空间，如果对于任意两个互异的点 \(x,y\in X\) ，对应存在两个不交的邻域 \(U_{x},U_{y}\).

例：度量空间具有 Hausdorff 性

证明任意的度量空间均是 Hausdorff 空间.

对 \((X,d)\) ，有互异两点 \(x,y\in X\) ，设 \(d(x,y) = r\) ，则取两个邻域为

\[ U_{x} = B\left(x, \frac{1}{3}r\right), U_{y} = B\left(y, \frac{1}{3}r\right) \]

则 \(U_{x}\cap U_{y} = \varnothing\) ，故度量空间是 Hausdorff 空间. \(\square\)

连续映射

定义：拓扑空间的连续映射

设 \(X,Y\) 均为拓扑空间，映射 \(T:X\mapsto Y\) 在 \(x\in X\) 处连续当且仅当对 \(Tx\in Y\) 的每个邻域 \(U\) ，都存在 \(V\subseteq X\) 使得
$$ TV \subseteq U $$

覆盖与紧集

Lindelöf 性质

定理：Lindelöf 定理

若 \(X\) 是第二可数的，则 \(X\) 的任意开覆盖都有可数子覆盖.

易知 \(\mathbb{R}\) 是 Lindelöf 的.

紧集与 Heine-Borel 定理

定义：紧集 (compact)

若 \(X\) 的任意开覆盖都有有限子覆盖，则称 \(X\) 是紧集. 若 \(\overline{X}\) 是紧集，则称 \(X\) 相对紧致.

定理：Heine-Borel 定理

\(\mathbb{K}^{n}\) 中的紧集和有界闭集等价.

紧集的性质

• \(X\) 是紧集当且仅当其具有有限交性质：即一族闭集的交是非空的，如果它的任意有限子集族都是非空的.
• 紧集在连续映射下的像也是紧的.
• 紧集的闭子集一定紧.
• 紧集的有限并一定紧.
• 紧集的有限卡氏积一定紧.
• 若 \(X\) 是 Hausdorff 空间，则
  • 其中的每个紧集都是闭集.
  • 其中紧集的任意交都是紧集.

局部紧

定义：局部紧 (locally compact)

一个拓扑空间 \(X\) 称为局部紧的，如果其中的每个点 \(x\) 都有紧邻域.

作业

• P12: T3, T4

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