泛函分析 9.3 - TVS && 赋范空间

同胚 (homeomorphism)

定义：同胚 (homeomorphism)

两个拓扑空间 $(X,\mathscr{T}_{X})$ 和 $(Y,\mathscr{T}_{Y})$ 之间的函数 $f:X\to Y$ 称为同胚（映射），如果满足如下两个条件：

$f$ 是双射；
$f$ 和 $f^{-1}$ 都是连续映射.

若两个空间间存在同胚映射，则称两个空间同胚.

同胚相较于连续映射的好处在于，它能将开集映射为开集，也保留了开集的原像也是开集这一性质.

由于拓扑空间意义下的同构就是同胚，因此我们可以直接利用以往使用的同构符号进行说明，若 $X$ 和 $Y$ 是同胚的拓扑空间，则可记为 $X\cong Y$ .

拓扑线性空间 (TVS) 介绍

Motivation

下面讨论引入 TVS 的目的，在高等代数中，我们学习有限维线性空间 $V$ ，若存在基 $\left\lbrace e_{1},e_{2},\cdots,e_{n} \right\rbrace$ ，则对于任意 $\alpha\in V$ ，存在线性组合

\[ \alpha = \lambda_{1} e_{1}+ \lambda_{2} e_{2} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \]

但是在无限维线性空间当中，这个线性组合就需要引入“极限”，例如，$\mathbb{R}$ 上的多项式全体即为无穷维的线性空间，我们可以发现 $\left\lbrace x^{n} \right\rbrace_{n\in \mathbb{N}}$ 为 Hamel 基，在这样的情况下，线性组合就不能像有限维线性空间一样很简单地写出来了.

向量拓扑 (Vector Topology)

定义：向量拓扑 (Vector Topology)

设数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间 $X$ 上有 ==Hausdorff 拓扑== $\mathscr{T}$ ，称 $\mathscr{T}$ 为线性拓扑或向量拓扑，如果

向量加法映射：$(x,y)\in X\times X\mapsto x+y \in X$ 关于拓扑 $\mathscr{T}$ 连续.
标量乘法映射：$(\lambda,x)\in \mathbb{K}\times X\mapsto \lambda x\in X$ 关于拓扑 $\mathscr{T}$ 连续.

根据上一周的连续映射的定义，我们有如下的拓扑形式的改写：

对向量加法映射：

对 $x+y\in X$ ，$x,y\in X$ ，若 $x+y$ 有邻域 $U$ ，则 $x,y$ 分别存在邻域 $U_{1},U_{2}$ ，使得

\[ U_{1}+U_{2} \subseteq U \]

对标量乘法映射：

对 $x\in X,\lambda x\in X$ ，若 $\lambda x$ 有邻域 $U$ ，则存在 $x$ 的邻域 $V$ 和 $r>0$ 使得

\[ \forall \beta (|\beta-\lambda| < r) , \beta V \subseteq U \]

注意本条实际上只是相比于一般的连续映射定义做了一点微小的改动.

拓扑线性空间 (TVS)

定义：拓扑线性空间 (TVS)

令 $X$ 为线性空间，$\mathscr{T}$ 为线性拓扑，则称 $(X,\mathscr{T})$ 为拓扑线性空间.

为以后的描述简便，我们直接写 $(X,\mathscr{T})$ 为 TVS.

例：$\mathbb{R}^{n}$

证明：利用常规的 Euclidean 度量构成的度量空间 $(\mathbb{R}^{n},d)$ 是 TVS，但对离散度量 $\widetilde{d}$ ，$(\mathbb{R}^{n},\widetilde{d})$ 不为 TVS.

$\mathbb{R}^{n}$ 是 $\mathbb{K}=\mathbb{R}\text{ or }\mathbb{C}$ 上的线性空间是显然的，以下证明 $d$ 诱导的拓扑是线性拓扑，易知 $d$ 是 Hausdorff 拓扑，同时向量加法和数乘映射都是连续的（考虑足够小的开方体即可）. 因此 $d$ 为线性拓扑. 从而 $(\mathbb{R}^{n},d)$ 为 TVS.

对离散度量 $\widetilde{d}$ ，我们考虑证明标量乘法映射不是连续的，首先 $\left\lbrace \boldsymbol{0} \right\rbrace$ 在离散度量下是开集（例如开球 $B(0,0.5)$ ），那么在标量乘法下的原像为

\[ (\mathbb{R} \times \left\lbrace \boldsymbol{0} \right\rbrace)\cup(\left\lbrace 0 \right\rbrace\times \mathbb{R}^{n}) , \]

（注意 $\boldsymbol{0}\in \mathbb{R}^{n}$ 而 $0\in \mathbb{R}$）
但它并不是开集，它不是连续映射. 因此度量 $\widetilde{d}$ 诱导的拓扑不为线性拓扑. $\square$

TVS 是我们后续学到的 Banach 空间、Hilbert 空间这些空间最广泛的形式，换句话说，之后的空间都将是 TVS 的特例.

网 (net)

网的定义

定义：网 (net)

集合 $X$ 上的网 $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ 即为映射
$$ \lambda\in I \mapsto x_{\lambda} \in X $$
映射满足从==定向集== $(I,\preceq)$ （在此时称为指标集）映到 $X$ .

看起来网像是一个序列，但是实际上网的概念比序列更一般化，首先指标集 $(I,\preceq)$ 是更一般的定向集，其次指标集元素个数可以是不可数的.

网的概念的引入在于：我们需要一个更一般化的描述收敛 (convergent) 的对象，尤其是一般的 TVS 当中.

网的收敛

定义：网的收敛（广义收敛）

设 $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ 为拓扑空间 $X$ 中的网，给定 $x\in X$ ，若 $x$ 的任意开邻域 $W$ ，都存在 $\lambda_{W}\in I$ （依赖于 $W$）使得
$$ \forall \lambda\in I (\lambda_{W} \preceq \lambda),x_{\lambda}\in W $$
则称 $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ 收敛于 $x$.

上述网的收敛是广义的收敛性.

对 $(n)_{n\in \mathbb{N}}$ ，取偏序为 $\leqslant$ ，对任意的 $x$ ，取长度小于 $\dfrac{1}{2}$ 的开邻域，则无论取什么 $\lambda_{W}$ ，都有足够大的 $\lambda$ 使得 $\lambda\notin W$ . 因此该网不收敛.
对拓扑空间 $(\mathbb{R},d)$ 中的 $\left(\sin \dfrac{1}{x}\right)_{x\in (0,+\infty)}$ ，取 $y=0$ ，对于 $y$ 的任意开邻域，即任意小的开球 $B(y,\delta)$，总有足够大的 $x$ 使得 $\sin \dfrac{1}{x} < \delta$ . 因此该网收敛于 $0$ .

向量拓扑的等价条件

定理：向量拓扑的等价条件

令 $X$ 为 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，$\mathscr{T}$ 为 $X$ 上的拓扑，那么 $\mathscr{T}$ 为向量拓扑当且仅当下列两条均成立：

若 $(X,\mathscr{T})$ 中 $x_{i}\to x\in X$ ，$y_{i}\to y\in X$ ，则 $x_{i}+y_{i}\to x+y\in X$.
若 $(X,\mathscr{T})$ 中 $x_{i}\to x\in X$ ，$\lambda_{i}\to \lambda\in \mathbb{K}$ ，则 $\lambda_{i}x_{i}\to \lambda x\in X$.

TVS 上的映射

加法同胚和数乘同胚

定理：TVS 的加法同胚

设 $X$ 为 TVS，$x\in X$ ，定义如下映射：
$$ T_{x}(y) = x+y,\forall y\in X $$
则 $T_{x}$ 是同胚映射.

定理：TVS 的数乘同胚

设 $X$ 为 TVS，对任意 $x\in X$ 以及固定 $0\neq \lambda\in \mathbb{K}$ ，可定义如下的映射：
$$ M_{\lambda}(x) = \lambda x, \forall x\in X $$
那么 $M_{\lambda}$ 是同胚映射.

这两个定理很容易证明，对加法，容易知道逆映射为 $T_{-x}$ ，加法映射及其逆映射都是连续的，所以 $T_{x}$ 为同胚；数乘同理，此时逆映射为 $T_{\frac{1}{\lambda}}$ . $\square$

定理：$0$ 的邻域

令 $X$ 为 TVS，$U \subseteq X$ 包含 $0$ ，那么 $U$ 为 $0$ 的邻域当且仅当 $x+U$ 为 $x\in X$ 的邻域对任意 $x\in X$ 成立.

先证明 $(\Rightarrow)$，此时 $U$ 为 $0$ 的邻域，则存在开集 $0\in O \subseteq U$ ，考虑 $T_{x}$ 有

\[ T_{x}(O) = x+O = \left\lbrace x+y : y\in O \right\rbrace \]

根据 $T_{x}$ 同胚，可知 $x+O$ 为开集，因此根据

\[ x \in x+O \subseteq x+U \]

可知 $x+U$ 为 $x$ 的邻域.

反过来，$(\Leftarrow)$ 方向利用 $T_{-x}$ ，即 $T_{x}$ 的逆映射即可. $\square$

线性映射 (linear map) 与超平面 (hyperplane)

注意

老师这部分直接跳了，已经无力吐槽了…… 在这里直接罗列定义得了.

TVS 上的线性映射

定义：线性映射

设 $X,Y$ 均为数域 $\mathbb{K}$ 上的 TVS，映射 $T:X\to Y$ 称为线性映射，如果
$$ T(\alpha x + \beta y) = \alpha T(x)+ \beta T(y) $$
对任意的 $\alpha,\beta \in \mathbb{K}$ 以及 $x,y\in X$.

和高等代数中的定义一致，只不过这里操作的对象变成了 TVS 而已.

超平面

定义：余维数 (codimension)

设线性空间 $X$，其子空间 $W$ 的余维数定义为商空间 $X\setminus W$ 的维数.

定义：超平面 (hyperplane)

对线性空间 $X$ ，若其子空间 $W$ 的余维数为 $1$ ，则称 $W$ 为 $X$ 中的一个超平面.

泛函

泛函的定义

注意

单开这一栏是因为教材直接使用了泛函 (functional) 而没有引入定义，真够离谱的……

跳过也没关系，之后还会再说明的.

定义：泛函 (functional)

由函数组成的向量空间到其标量域 ($\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$) 的映射称为泛函.

如果泛函 $f$ 同时还是线性映射，则称为线性泛函.

TVS 上的泛函

定理：TVS 上的线性泛函

设 $f: X\to \mathbb{K}$ 为非 $0$ 线性泛函，其中 $X$ 为 TVS.

$f$ 连续当且仅当 $\mathrm{Ker}(f)$ 是 $X$ 中的闭超平面；
$f$ 不连续当且仅当 $\mathrm{Ker}(f)$ 是 $X$ 中的稠密超平面.

线性空间中的凸集、均衡集、绝对凸集

凸集、均衡集、绝对凸集

以下讨论的 $B$ 均为线性空间 $X$ 的子集.

定义：凸集 (convex set)

对于任意 $\lambda\in [0,1]$ ，若 $x,y\in B$ ，有
$$ \lambda x+ (1-\lambda)y\in B $$
则称 $B$ 为凸集.

和数学分析中的定义一致，就是保证每个线段都整个包含在 $B$ 中.

定义：均衡集 (balanced set)

对 $B$ ，若任意 $|\lambda| \leqslant 1$ ，均有
$$ \lambda B \subseteq B $$
则 $B$ 称为均衡集.

对均衡集 $B$ ，从几何直观上来说，相当于没有空腔，均衡集的任意缩小都还包含在自身当中.

定义：绝对凸集 (absolute convex)

称 $B$ 为绝对凸集，如果对于任意的 $x,y\in B$ 和满足 $|\alpha|+|\beta| \leqslant 1$ 的标量 $\alpha,\beta$ ，都有 $\alpha x + \beta y\in B$.

绝对凸集是凸集 + 均衡集.

凸包、均衡包、绝对凸包

凸包、均衡包、绝对凸包的定义很简单，在这里直接罗列即可：

集合 $B$ 的凸包为：$\mathrm{conv}(B)=\displaystyle\bigcap\limits_{B \subseteq C,C \text{ is convex}}C$ .
集合 $B$ 的均衡包为：$\mathrm{bal}(B) = \displaystyle\bigcap\limits_{B \subseteq C,C \text{ is balanced}}C$ .
集合 $B$ 的绝对凸包为：$\mathrm{acx}(B) = \displaystyle\bigcap\limits_{B \subseteq C,C \text{ is absolutely convex}}C$ .

它们有等价定义：

凸包：

\[ \mathrm{conv}(B) = \left\lbrace \sum\limits_{j=1}^{n} \alpha_{j} x_{j} : x_{i} \in B, \alpha_{i} \geqslant 0 \text{ with } \sum\limits_{j=1}^{n} \alpha_{j}=1,\text{ and } n\in \mathbb{N} \right\rbrace \]

均衡包：

\[ \mathrm{bal}(B) = \bigcup_{|\lambda| \leqslant 1} \lambda B = \left\lbrace \lambda b : b \in B , \lambda \in \mathbb{K} \text{ with } |\lambda |\leqslant 1 \right\rbrace \]

绝对凸包：

\[ \mathrm{acx}(B) = \mathrm{conv}(\mathrm{bal}(B)) \]

在之后的 Hahn-Banach 定理的证明过程当中我们要使用上述的概念.

有限维 TVS 的拓扑结构

接下来是关于 TVS 的重要结论，它揭示了 TVS 的拓扑结构.

定理：TVS 和 $n$ 维列向量空间同胚

令 $X$ 为有限维（记为 $n \geqslant 1$ 维）的 TVS ，那么 $X\cong \mathbb{K}^{n}$，其中 $\mathbb{K}^{n}$ 为 $n$ 维列向量 TVS，且同胚映射是线性的.

局部凸空间

定义：局部凸空间 (locally convex space)

一个 TVS $(X,\mathscr{T})$ 称为局部凸空间 (LCS) ，如果 $\mathscr{T}$ 中存在 $0$ 的由凸集组成的邻域基.

同 TVS ，接下来我们也直接使用 LCS 代指局部凸空间.

赋范（线性）空间 (Normed Space)

赋范空间的定义

定义：赋范空间 (normed space)

对数域 $\mathbb{K} = \mathbb{R}\text{ or } \mathbb{C}$ 上的线性空间 $E$ ，设函数 $\|\cdot\|: E\mapsto \mathbb{R}_{+}$ ，满足如下的性质：

$\|x\| \geqslant 0,\forall x\in E$.
$\|x\| = 0 \iff x=0$.
$\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x\in E$.
$\|x+y\| \leqslant \|x\|+\|y\|,\forall x,y \in E$.

则称 $\|\cdot\|$ 为范数 (norm) ，赋予了上述范数的线性空间 $(E,\|\cdot\|)$ 称为赋范（线性）空间.

赋范空间是 TVS 的一种特殊形式，接下来我们也将讨论赋范空间的各种例子. 在此之前还需讨论赋范空间的一些基本性质.

范数度量

如果定义

\[ d(x,y) = \|x-y\| \]

则 $d$ 是一个度量，此时我们称范数诱导度量，且 $(E,d)$ 为度量空间. 然后再用度量诱导拓扑可得 $\mathscr{T}$ . 易证它是一个向量拓扑.

范数度量具有平移不变性，换句话说，对于任意 $z\in E$ ，都有

\[ d(x+z,y+z) = d(x,y) \]

令

\[ B_{E} := \left\lbrace x\in E: \|x\| \leqslant 1 \right\rbrace \]

为 $E$ 中的闭单位球，我们作一个平移可以得到

\[ x+ \frac{1}{n} B_{E} = \left\lbrace y\in E: \|y-x\| \leqslant \frac{1}{n} \right\rbrace \]

上述式子找到了 $x$ 的一个邻域基，那么对于 $\mathscr{T}$ ，此时称 $\mathscr{T}$ 为 $E$ 的范数拓扑，由于上述邻域基里的集合都是凸集，则赋范空间 $(E,\|\cdot\|)$ 在拓扑 $\mathscr{T}$ 的意义下是一个 LCS.

赋范空间的例子

例：欧氏范数空间

令 $E$ 为有限维线性空间，其数域为 $\mathbb{K}$ ，其基为 $\left\lbrace e_{1},e_{2},\cdots,e_{n} \right\rbrace$，定义欧氏范数：
$$ |x|_{2} = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} |\lambda_{i}|^{2}} $$
其中 $x = \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}e_{i}\in E$ ，特别的，$(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{2})$ 即为欧氏空间. 证明其确为赋范空间.

另外三个性质易证，我们仅考虑 $\mathbb{C}$ 上的三角不等式证明，利用 Cauchy-Schwartz 不等式有

\[ \begin{aligned} \|x+y\|_{2} & = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} |\lambda_{i}+\mu_{i}|^{2}} = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} (\lambda_{i}+ \mu_{i})\overline{(\lambda_{i}+\mu_{i})}} \\ & = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{2} + \sum\limits_{i=1}^{n} \mu_{i}^{2} + 2\sum\limits_{i=1}^{n}\mathrm{Re}(\lambda_{i} \overline{\mu}_{i})} \\ & \leqslant \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{2}+ \sum\limits_{i=1}^{n} \mu_{i}^{2} + 2 \sum\limits_{i=1}^{n} |\lambda_{i} \mu_{i}|} \\ & \leqslant \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}^{2} + \sum\limits_{i=1}^{n} \mu_{i}^{2} + 2\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}|\lambda_{i}|^{2}\sum\limits_{i=1}^{n}|\mu_{i}|^{2}}} \\ & = \sqrt{\|x\|_{2}^{2}+ \|y\|_{2}^{2} +2 \|x\|_{2}\|y\|_{2}} \\ & = \|x\|_{2} + \|y\|_{2} \end{aligned} \]

故三角不等式成立. $\square$

$L^{p}$ 范数

定义 $\mathbb{K}^{n}$ 上的范数
$$ |x|_{p} = \left(\sum\limits_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} $$
以及
$$ |x|_{\infty} = \max_{1\leqslant i\leqslant n}|x_{i}| $$
它们分别称为 $L^{p}$ 范数和 $L^{\infty}$ 范数.

例：Frobenius 范数

对矩阵函数 $\|\cdot\|: M_{mn}\to [0,+\infty )$ ，定义
$$ |A| = \left(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} |a_{ij}|^{2}\right)^{\frac{1}{2}} $$
它也是一个范数，并且称为 Frobenius 范数或 Hilbert-Schmidt 范数. 它也等于 $A$ 奇异值的平方和开根号.