NKU 第四次作业
Lemma 2.3.28
验证如下的定理：
对于任意结构 \(\mathfrak{A}\) 和 \(\mathfrak{B}\) 以及任意同态 \(\eta :\mathfrak{A}\to \mathfrak{B}\) ，
- \(\eta\) 依从 (respect) 每个项以及每个不包含 \(=\) 的无量词公式.
- 如果 \(\eta\) 是一个嵌入，那么 \(\eta\) 依从每个无量词公式.
证明：
(1) 首先利用项归纳证明 \(\eta\) 依从每个项：如果 \(t\) 就是一个变量 \(x\) ，那么有
\[
\eta(t^\mathfrak{A} [\alpha]) = \eta(\alpha(x)) = \alpha^\eta (x) = t^\mathfrak{B}[\alpha^\eta].
\]
如果 \(t\) 就是一个常量，那么
\[
\eta(t^\mathfrak{A}[\alpha]) = \eta(c^\mathfrak{A}) = c^\mathfrak{B} = t^\mathfrak{B}[\alpha^\eta].
\]
如果 \(t\) 为一个函数值 \(ft_0\cdots t_{\nu_L(f)-1}\) ，那么，
\[
\begin{aligned}
\eta(t^\mathfrak{A}[\alpha]) &= \eta(f^\mathfrak{A}(t^\mathfrak{A}_0 [\alpha],\cdots,t^\mathfrak{A}_{\nu_L(f)-1}[\alpha])) \\
&=f^\mathfrak{B}(\eta(t_0^\mathfrak{A}[\alpha]),\cdots,\eta(t^\mathfrak{A}_{\nu_L(f)-1}[\alpha])) \\
&= f^\mathfrak{B}(t^\mathfrak{B}_0 [\alpha^\eta],\cdots,t^\mathfrak{B}_{\nu_L(f)-1}[\alpha^\eta]) \\
&= t^\mathfrak{B}[\alpha^\eta]
\end{aligned}
\]
根据项归纳，依从每个项是成立的.
对于不包含 \(=\) 的无量词公式，此时公式 \(\varphi\) 可以写为 \(p^\mathfrak{A}(t_0^\mathfrak{A},\cdots,t^\mathfrak{A}_{\nu_L(f)-1})\) . 则有
\[
\begin{aligned}
\underset{\mathfrak{A}}{\models}\varphi[\alpha] &\iff \underset{\mathfrak{A}}{\models} p^\mathfrak{A}(t_0^\mathfrak{A}[\alpha],\cdots,t^\mathfrak{A}_{\nu_L(p)-1}[\alpha]) \\
&\iff \underset{\mathfrak{A}}{\models} p^\mathfrak{B}(\eta(t^\mathfrak{A}_0[\alpha]),\cdots,\eta(t^\mathfrak{A}_{\nu_L(p)-1})) \\
&\iff \underset{\mathfrak{A}}{\models} p^\mathfrak{B}(t^\mathfrak{B}_0[\alpha^\eta],\cdots,t^\mathfrak{B}_{\nu_L(p)-1}[\alpha^\eta])) \\
&\iff \underset{\mathfrak{B}}{\models}\varphi[\alpha^\eta]
\end{aligned}
\]
因此对于不包含 \(=\) 的无量词公式，依从也是成立的.
(2) 由 (1) 仅需考虑包含 \(=\) 的情形，利用公式归纳，考虑最简单的情形：\(\varphi\) 为原子公式 \(t=u\) ，其中 \(t\) 和 \(u\) 均为 \(L\) 项. 那么：
\[
\begin{aligned}
\underset{\mathfrak{A}}{\models}\varphi[\alpha] &\iff t^\mathfrak{A}[\alpha] = u^\mathfrak{A}[\alpha] \\
&\iff \eta(t^\mathfrak{A}[\alpha]) = \eta(u^\mathfrak{A}[\alpha]) \\
&\iff t^\mathfrak{B}[\alpha^\eta] = u^\mathfrak{B}[\alpha^\eta] \\
&\iff \underset{\mathfrak{A}}{\models}\varphi [\alpha^\eta].
\end{aligned}
\]
这里面的第二步基于 \(\eta\) 为嵌入的条件. 根据公式归纳，\(\eta\) 依从每个无量词公式. \(\square\)