命题语义(Propositional Semantics)
永真式（重言式）与语义等价
首先先证明一个简单的命题，对于 \(L\)-语句 \(\varphi\) ，若有两个真值指派 \(V\) 和 \(W\) ，那么对于任意 \(\varphi\) 中语句符号 \(p_n\) ，若恒有 \(V(p_n) = W(p_n)\) ，则记为 \(V = _{\varphi}W\) ，有如下命题：
命题
对于每一个语句 \(\varphi\) 和任意真值指派 \(V\) 和 \(W\) ，如果 \(V = _{\varphi}W\) ，那么 \(V(\varphi) = W(\varphi)\) .
永真式和语义等价
定义：永真式、语义等价
(1) 如果对于语句 \(\varphi\) ，在所有的真值指派下 \(V(\varphi) = \mathrm{T}\) 恒成立，则称 \(\varphi\) 为永真式(tautology) ，记为 \(\mid\!\equiv \varphi\) . 如果 \(\neg \varphi\) 为永真式，则 \(\varphi\) 为永假式.
(2) 若对任意的真值指派 \(V\) 都有 \(V(\varphi) = V(\psi)\) ，则称 \(\varphi\) 和 \(\psi\) 是语义等价（重言等价）的. 记为 \(\varphi \mid\!\equiv\!\mid \psi\) .
(3) 若对任意的真值指派 \(V\) ，如果 \(V(\varphi) = \mathrm{T}\) ，则 \(V(\psi) = \mathrm{T}\) ，那么就称 \(\psi\) 为 \(\varphi\) 的语义后承(tautological consequence) . 记为 \(\varphi \mid\!\equiv \psi\) .