一阶语言的语法和语义(Syntax and Semantics of First-order Languages)

翻译须知

在这一节当中，出现的新名词的翻译对照表如下：

名词	翻译
expression	表达式
term	项
formula	公式

语法部分

数学结构

对于一个数学结构，我们常常能将其抽象为：非空集 $A$ 以及其直积 $R\subseteq A^k$ ，它们之间还可能有关系（可以表为集合直积），同时也会有一些确定的函数：$F:A^k\to A$ ，常量与元素 $a\in A$ 等等......
我们写为：

\[ \mathfrak{A} = \left\lbrace A,R,S,\cdots,F,G,\cdots,a,b,\cdots \right\rbrace \]

其中 $\mathfrak{A}$ 为哥特体的 $A$ ，$\LaTeX$ 代码为 \mathfrak{A} .

我们不妨举例：

数学结构的例子

最简单的结构是简单的集合 $A$ ，没有关系、函数和不同的元素.
最常见的关系往往是二元关系 $R\subseteq A\times A$ ，例如，$(\omega,<_{\omega})$ 就是自然数集的自然排列关系.

对于二元关系，这里将偏序关系和全序关系阐述一下. 注意在其他的教材中，$a$ 与 $b$ 有关系 $R$ 可能写为 $aRb$ ，但是这里我们写为序对的形式 $(a,b)$ .

定义：偏序 (Partial Order)

给定一个集合 $X$ ，考虑该集合上一个关系(Relation) $R$ ，如果满足以下条件：

对于任意的 $x\in X$ ，都有 $(x,x)\in R$ （自反性）；
对任意的 $x,x'\in X$ ，如果 $(x,x')\in R, (x',x)\in R$ ，那么 $x= x'$ （反对称性）.
对任意的 $a,b,c\in X$ ，如果 $(a,b)\in R, (b,c)\in R$ ，那么 $(a,c)\in R$ （传递性）.

那么就称 $R$ 为偏序关系.

对于任意的数学结构 $\mathfrak{A} = (A,R)$ ，如果 $R$ 是偏序关系，则 $\mathfrak{A}$ 称为偏序的 (Partial Ordering) .

定义：全序集 (Chain/Totally Ordered Set)

对于一个偏序集 $(X,\leqslant)$ ，我们称其为全序集，如果对于任意两个元素 $x,x'$ 必有 $x\leqslant x'$ 或 $x'\leqslant x$ 成立.

如果 $\mathfrak{A} = (A,R)$ 的 $R$ 为全序关系，则 $\mathfrak{A}$ 称为线序或全序的 (Linear Ordering or Total)

仅在传递性的基础上，如果对于任意的 $a\in A$ ，$(a,a)\not\in R$ ，则称 $\mathfrak{A}$ 为严格线序的.

但是现在，我们还没有对 $\mathfrak{A}$ ，也就是数学结构作一个明确的定义，我们需要借助以前的一些内容进行定义.

一阶逻辑语言

定义：一阶逻辑语言

一个一阶语言 $L$ 通常由如下的符号表示

集合 $\mathrm{Rs}_L$ ，表示 $L$-关系符号（$\mathrm{Rs}$ 即为 Relation Symbol）；
集合 $\mathrm{Fs}_L$ ，表示 $L$-函数符号（$\mathrm{Fs}$ 即为 Function Symbol）；
集合 $\mathrm{Cs}_L$ ，表示 $L$-常值符号（$\mathrm{Cs}$ 即为 Constant Symbol）.
元数 (Arity) 函数：$\nu: \mathcal{R}\cup \mathcal{F}\to \mathbb{N}^*$ ，它指定了所有关系符号和函数符号的元数.

上述符号称为非逻辑符号，$\mathrm{Rs}_L,\mathrm{Fs}_L,\mathrm{Cs}_L$ 是两两不交的，除上述非逻辑符号（或称 initial symbol ，初始符号）外，我们还需要逻辑的符号.

变元符号（可数集合）： $\mathrm{Vb} = \left\lbrace v_n: n\in \omega \right\rbrace$ ( Variable ).
等值符号 $=$ .
连接词 $\neg$ 和 $\lor$ .
存在量词：$\exists$ .

连接词我们选择之前我们证明完备的两个连接词. 量词实际上选择任意 $\forall$ 和存在 $\exists$ 都是 OK 的，只不过这里我们选择了存在 $\exists$ .

我们熟悉的一些符号实际上能通过这些符号导出：

\[ \begin{aligned} (x\neq y ) &:= \neg(x =y ) \\ \forall x \varphi &:=\neg \exists x (\neg \varphi) \\ (x\land y) &:= \neg (\neg x\lor \neg y) \\ (x\to y ) &:= \neg x\lor y \end{aligned} \]

同时，等值符号在教材上采用

\[ \dot{=} \]

这个符号，但是为了简化表达，在不混淆的情况下（在之后的定义当中出现基本表达等值符号的含义）还是采用 $=$ 符号.

实际上，在中文教材当中，有时也能学到如下的两个定义：

一阶逻辑语言定义补充

逻辑符号添加如下两种：

语法逗号： ,
语法括号：( 和 )

这两个定义补充的出现是中缀表达式固有问题的体现，因为它无法避免括号的使用.

我们在今后，为简洁起见，我们不认为这两个在定义当中，但是在书写中缀表达式的时候，为了表达的简洁，还是会写上述两个符号.

一阶逻辑语言示例

语言 $L_=$ 有 $\mathrm{Rs}_{L_=}=\mathrm{Fs}_{L_=} = \mathrm{Cs}_{L_=} = \varnothing$ ，$L_=$ 没有非逻辑符号. 因此在后续书写公式的时候只能使用变量符号.
群论自然语言的符号是 $L_G$ ，它有非逻辑符号 $\dot{*}$ 、$\dot{^{-1}}$ 、$\dot{e}$ ，其中 $\dot{*}$ 是群论中的二元运算符，是二元函数，$\dot{^{-1}}$ 是逆元函数，是一元函数. 而 $\dot{e}$ 是幺元符号. 环论类似，符号为 $L_R$ .
一阶算数理论当中，对应的逻辑语言是 $L_\Omega$ ，它有如下的部分：$\mathrm{Rs}_{L_{\Omega}} = \left\lbrace \dot{<} \right\rbrace; \mathrm{Fs}_{L_\Omega} = \left\lbrace \dot{+},\dot{\times},\dot{\mathrm{S}} \right\rbrace; \mathrm{Cs}_{L_{\Omega}} = \left\lbrace \dot{0} \right\rbrace$ 其中，$\dot{\mathrm{S}}$ 为后继函数. 例如，在自然数当中，$\dot{\mathrm{S}}(n) = n+1$ ，也可以在其他的集合中定义，例如 $\mathbb{Z}_5$ 当中，可以规定 $\dot{\mathrm{S}}(\overline{4}) = \overline{0}$ . 这主要看全域规定为什么

$L$-项

首先定义 $L$-原子项 (atomic term) ，它是一个包含了一个符号的表达式且这个符号要么是常量，要么是变量.

也就是说，称 $\varphi$ 为一个 $L$-原子项当且仅当其唯一符号满足：

\[ \varphi\in \mathrm{Cs}_L\cup \mathrm{Vb}_L \]

定义：$L$-项

$L$-项的集合 $\mathrm{Te}_L$ 是满足如下条件的最小 $L$-表达式集合：

每一个 $L$-原子项都是 $L$-项.
对于任意 $L$-函数符号 $f$ 和任意 $L$-项 $t_0,\cdots,t_{\nu_L(f)-1}$ ，都有 $ft_0\cdots t_{\nu_L(f)-1}$ 是一个 $L$-项. (也就是 $f$ 作用于这 $\nu_L(f)$ 个变量生成 $L$-项)

此时定义好了之后我们已经能明白 $L$-项的构成了，它是常量和变量在函数的作用下生成的公式. 以前我们学到的种种运算都可以理解为函数.

$L$-项的唯一可读性

和以前的 $L$-语句一样，$L$-项也应该有唯一可读性，否则将会出现歧义.

命题：$L$-项的唯一可读性

对于每一个 $L$-项 $t$ ，一定满足如下性质中的其中一个：

$t$ 是 $L$-原子项.
存在 $L$-函数符号 $f$ 和 $L$-项 $u_0,\cdots,u_{\nu_L(f)-1}$ ，有 $t$ 是 $fu_0\cdots u_{\nu_L(f)-1}$.

更进一步，第二个性质当中，$f$ 和 $u_k$ 都是唯一确定的.

（此处在教材上留作习题，在此挖坑）. $\square$

我们对唯一可读性再举几个例子，在群论当中，二元运算符记为 $\dot{*}$ ，对群 $G$ 中的元素 $x,y$ ：

\[ (x\dot{*}y)^{-1} \]

不会产生歧义，它是 $x$ 和 $y$ 进行二元运算作用之后取逆元. 写为前缀表达式为 $\dot{^{-1}}\dot{*}xy$ . 一般地，$L_G$ 中的 $L$-项总能写为：

\[ x_0^{\pm 1}\dot{*} \cdots \dot{*} x_k^{\pm 1} \]

这就是唯一可读性的一个体现.

$L$-公式

$L$-原子公式

我们在定义 $L$-项的时候，实际上只有变量、常量以及函数，那么原来的关系符号和逻辑符号去哪了？我们需要把这些也纳入到体系当中.

我们来谈公式 (formula) 的概念，自小到大，我们学到的公式都形如：

\[ \cdots \overset{?}\sim \cdots \]

这里面 $\sim$ 代表一种关系，大部分学到的公式都是等号，表示出一个运算的相等关系，也有类似群同态基本定理这样的公式：

\[ G / \mathrm{Ker}(G) \simeq \mathrm{Im}(G) \]

没有关系的公式实际上就是草稿纸上的运算过程而已，给不了我们什么信息，所以公式的存在必须要有关系符号.

定义：$L$-原子公式 ($L$-atomic formulas)

$L$-原子公式的集合 $\mathrm{AtFm}_L$ 是所有满足如下条件的 $L$-表达式的集合（其中的表达式是如下的某种形式）：

$=tu$ ，其中 $t$ 和 $u$ 是 $L$-项.
$pt_0\cdots t_{\nu_L(p)-1}$ ，其中 $p\in \mathrm{Rs}_L$ ，$t_0,\cdots,t_{\nu_L(p)-1}$ 为 $L$-项.

其中的 $=tu$ 是前缀表达式. 而 $p$ 在为二元关系符时，由于偏序关系等特殊关系的存在，我们不写 $< tu$ 而写 $t<u$ .

举例：

$L_=$ 中的 $L$-原子公式只有 $x=y$ 的形式，其中 $x,y$ 为变量.
在一阶算数语言 $L_\Omega$ 中，公式的形式为 $t=u$ 或 $t\dot{<}u$ ，例如公式：$\dot{\mathrm{S}}x\dot{+}y=\dot{\mathrm{S}}(x\dot{+}y)$ . 它表现了后继函数和加法之间的关系.

$L$-公式与其唯一可读性

定义：$L$-公式 ($L$-formula)

$L$-公式的集合 $\mathrm{Fm}_L$ 是满足以下条件的最小的 $L$-表达式集合：

每一个 $L$-原子公式都是 $L$-公式；
如果 $\varphi$ 和 $\psi$ 是 $L$-公式，那么 $\neg \varphi$ 和 $\lor \varphi \psi$ 都是 $L$-公式；
如果 $\varphi$ 是 $L$-公式且 $x$ 为变量，那么 $\exists x \varphi$ 是 $L$-公式.

这个概念的范围非常广，我们几乎可以处处找到例子.

在数学分析当中，集合为 $\mathbb{R}$ ，定义两个关系符号为实数相等 $=$ ，实数的小于关系 $<$ （大于记为 $>$ ，由于仅有记录的顺序问题，无需再次定义），函数符号 $-$ 为两个实数的相减，绝对值 $|\cdot|$ 为一元函数符号.

那么我们有如下的例子：

例

数列极限 $\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a$ 的 $\varepsilon-N$ 语言：
$$ \forall \varepsilon>0, \exists N> 0, \forall n>N, |x_n-a|<\varepsilon $$
是否为 $L$-公式？

在中缀表达式的表达下，这显然是公式，我们一个个提取它的成分：
$\varepsilon,N,n,x_n$ 均为变元符号，$a$ 为常值符号，$|\cdot|$ 、$-$ 为二元函数符号，$<,>$ 是关系符号. $\square$

唯一可读性已经基本和之前的一致了：

定义：$L$-公式的唯一可读性

对于每个 $L$-公式 $\theta$ ，总有以下一个结论成立：

$\theta$ 为 $L$-原子公式；
存在 $L$-公式 $\varphi$ 使得 $\theta$ 为 $\neg \varphi$ ；
存在 $L$-公式 $\varphi,\psi$ 使得 $\theta$ 为 $\lor\varphi\psi$ ；
存在 $L$-公式 $\varphi$ 和变元 $x$ 使得 $\theta$ 为 $\exists x \varphi$ ；

更近一步，在 2~4 当中，$\varphi$ 和 $\psi$ 还有 $x$ 是唯一确定的.

例：外延公理

请写出 $L$-公式表述集合论中的外延公理：给定任意的集合 $A,B$ ，$A$ 等于 $B$ 当且仅当给定任意 $x$ ，$x\in A$ 当且仅当 $x\in B$ .

写为如下形式：

\[ [\neg \exists z (z\in x \land z\in y) \land \neg \exists z (z\in y \land \neg z \in x)] \to x=y \]

其中 $\in$ 为二元关系符号. $\square$

由于我们没有作者那样想要把一切定义写为递归定义的执念，因此项递归定理 (Term Recursion Theorem) 和公式递归定理 (Formula Recursion Theorem) 就不阐述了.

$L$ - 结构

经过了如此漫长的前置准备，我们终于可以严格定义一个数学结构了.

定义：$L$-结构

一个 $L$-结构 $\mathfrak{A}$ 可以由以下的内容组成：

一个非空集合 $A$ ，作为 $\mathfrak{A}$ 的全域，记为 $|\mathfrak{A}|$ .
关系集 $\mathrm{Rs}_L$ 中的符号 $p$ ，对应 $\mathfrak{A}$ 中的一个关系 $p^\mathfrak{A}\subseteq A^{\nu_L(p)}$.
函数集 $\mathrm{Fs}_L$ 中的符号 $f$，对应一个函数 $f^{\mathfrak{A}}: A^{\nu_L(f)}\to A$ .
互异元素 $\mathrm{Cs}_L$ 中的符号 $c$ ，对应一个元素 $c^\mathfrak{A}\in A$ .

我们利用一阶算数理论来说明这个定义：

\[ \Omega := (\omega,<,+,\times , \mathrm{Sc},0) \]

这里面，我们有：

全域： $\omega$
关系符号：$<$
函数：
二元：$+,\times$
一元：$\mathrm{Sc}:m\to m+1$ （后继函数）
常量元素：$0$

需要注意的是，$p^\mathfrak{A}$ 是一个集合，我们通常把满足关系 $p$ 的序对称为属于 $p^\mathfrak{A}$ . 例如 $\mathbb{R}$ 中的小于关系：$<$ ，有

\[ (1,2)\in p^\mathfrak{A}, (2,1)\notin p^{\mathfrak{A}} \]

语义部分

在定义了语法层面上的数学结构后，我们需要赋予这些对象意义，因此我们采用和命题逻辑相似的方法进行研究.

$\mathfrak{A}$-真值指派

定义：$\mathfrak{A}$-真值指派

对于任意的 $L$-结构 $\mathfrak{A}$ ，一个 $\mathfrak{A}$-真值指派就是指一个函数 $\alpha: \mathrm{Vb}\to A$ .

为什么要这么定义真值指派？这是由于在结构当中，只有变元所代表的东西是不确定的，例如在一阶算数语言 $L_\Omega$ 当中，$\dot{\mathrm{S}}0$ 是确定的，但是

\[ x+\dot{\mathrm{S}}0 \]

是不确定的，只有给定了 $x$ 才能知道是什么含义.

为了解决这个项的取值问题，首先我们需要给变元 $x$ 赋值，这是 $\alpha$ 做的事情，例如 $\alpha(x)= 0$ .

然后，我们需要给项一个整体的指派，形式上可以写为

\[ V_{\mathfrak{A},\alpha}: \mathrm{Te}_L \to A \]

但是我们亲爱的作者 🤯 这个时候不喜欢这个符号，他要在后续的公式里面使用这个符号，因此他给出了一个这样的符号：我们记

\[ t = x+\dot{\mathrm{S}}0 \]

在给定了 $\alpha$ 时，对项的真值指派写为 $t^{\mathfrak{A}}[\alpha]$ ，表示结构 $\mathfrak{A}$ 中的项 $t$ 在 $\mathfrak{A}$-真值指派 $\alpha$ 下的取值.

当然，这也仅仅是符号上的一个新约定，我们还并没有解决项的取值的定义问题，因此我们需要下面的定义：

定义：$L$-项的取值

对于任意的 $L$-结构 $\mathfrak{A}$ 和任意的 $\mathfrak{A}$-指派 $\alpha$ ：

对于每个变元 $x$ ，$x^{\mathfrak{A}}[\alpha] = \alpha(x)$ ；
对于每个 $c\in \mathrm{Cs}_L$ ，$c^\mathfrak{A}[\alpha]=c^\mathfrak{A}$ ；
对于每个 $f\in \mathrm{Fs}_L$ 和 $t_0,\cdots,t_{\nu_L(f)-1}\in \mathrm{Te}_L$，有

\[ (ft*0\cdots t*{\nu*L(f)-1})^\mathfrak{A}[\alpha] = f^{\mathfrak{A}}(t_0^\mathfrak{A}[\alpha],\cdots,t^{\mathfrak{A}}*{\nu_L(f)-1}[\alpha]). \]

简而言之，就是变元的取值由 $\mathfrak{A}$-指派 $\alpha$ 决定，常值和真值指派无关，函数的取值等于它作用的这些 $L$-原子项的取值后 $f$ 作用下的取值.

我们来看一个实例：

一阶算数语言的计算

给定 $\alpha(x)=3$ 且 $\alpha(y)=7$ ，计算：
$$ (\dot{\mathrm{S}}x\times \dot{\mathrm{S}}\dot{\mathrm{S}}y)^\Omega [\alpha] $$

首先拆分函数，然后在分部计算即可：

\[ \begin{aligned} (\dot{\mathrm{S}}x\times \dot{\mathrm{S}}\dot{\mathrm{S}}y)^\Omega [\alpha] &= (\dot{\mathrm{S}}x)^\Omega [\alpha] \times (\dot{\mathrm{S}}\dot{\mathrm{S}}y)^\Omega [\alpha] \\ &=\mathrm{Sc}(\alpha(x))\times \mathrm{Sc}(\mathrm{Sc}(\alpha(y))) \\ &= \mathrm{Sc(3)}\times \mathrm{Sc}(\mathrm{Sc}(7)) = 4\times 9 = 36 \end{aligned} \]

$\square$

$L$-公式的取值

我们接下来讨论公式的取值时，我们使用的是真值指派 $V_{\mathfrak{A},\alpha}$ ，因为在讨论一个公式的时候，我们常说的是某个公式是正确的还是错误的，所以取值也就是真假值.

定义：$L$-原子公式的取值

对于任意的 $\mathfrak{A}$ 和 $\alpha$ ：

任意的 $L$-项 $t$ 和 $u$ ，有 $$ V_{\mathfrak{A},\alpha}(t = u) = \begin{cases}\mathrm{T}, &\text{if }t^{\mathfrak{A}}[\alpha]=u^{\mathfrak{A}}[\alpha], \\ \mathrm{F}, &\text{otherwise}.\end{cases} $$
对任意的关系 $p\in \mathrm{Rs}_L$ 和 $t_0,\cdots,t_{\nu_L(p)-1}\in \mathrm{Te}_L$ ，

\[ V*{\mathfrak{A},\alpha}(pt_0\dots t*{\nu*L(p)-1})= \begin{cases}\mathrm{T},&\text{if } (t_0^\mathfrak{A}[\alpha],\cdots,t^\mathfrak{A}*{\nu_L(p)-1}[\alpha])\in p^\mathfrak{A} \\ \mathrm{F},&\text{otherwise}.\end{cases} \]

最后就只剩下 $L$-公式了，这实际上也就是照搬命题逻辑部分的内容了，其中 $\neg$ 和 $\lor$ 我们直接略去不表，仅说明一下存在量词即可.

再进行一个符号上的约定：约定 $\alpha_{x\to a}$ 代表一个指派 $\beta$ ，满足：

变元为 $x$ 时，$\beta(x)=a$ ；
变元不为 $x$ ，而为其他任意变元 $y$ ，都有 $\beta(y) = \alpha(y)$ .

定义：$L$-公式的定义（部分）

对任意的结构 $\mathfrak{A}$ 和 $\mathfrak{A}$-指派 $\alpha$ ，所有的 $L$-公式 $\varphi$ 和 $\psi$ 和变元 $x$ 有：

\[ V*{\mathfrak{A},\alpha}({\exists x \varphi}) := \begin{cases}\mathrm{T},&\text{if for some }a\in A, V*{\mathfrak{A},\alpha\_{x\to a}}(\varphi)=\mathrm{T} \\ \mathrm{F}, &\text{otherwise}.\end{cases} \]

在命题逻辑当中，我们曾经使用过符号 $\mid\!\equiv$ ，我们在一阶语言当中也使用类似的记号 $\models$ . 我们使用如下的记号：

\[ \underset{\mathfrak{A}}{\models}\varphi[\alpha] \]

下面给出定义：

定义：$\mathfrak{A}$-指派满足 (satisfies) 语句

对于任意的 $\mathfrak{A}$, $\alpha$ 和 $\varphi$ ：

$\underset{\mathfrak{A}}{\models}\varphi[\alpha]$ 当且仅当 $V_{\mathfrak{A},\alpha}(\varphi)=\mathrm{T}$ ，称 $\alpha$ 满足 (satisfies) $\mathfrak{A}$ 中的 $\varphi$.
$\underset{\mathfrak{A}}{|\!\!\!\neq}\ \varphi[\alpha]$ 当且仅当 $V_{\mathfrak{A},\alpha}(\varphi)=\mathrm{F}$ .

然后就是简单的一些命题：

$\underset{\mathfrak{A}}{|\!\!\!\neq}\ \varphi[\alpha] \iff \underset{\mathfrak{A}}{|\!\!\!=}\neg\ \varphi[\alpha]$
$\underset{\mathfrak{A}}{|\!\!\!=}\ (\varphi\lor \psi)[\alpha]\iff \underset{\mathfrak{A}}{|\!\!\!=}\ \varphi[\alpha]$ 或者 $\underset{\mathfrak{A}}{|\!\!\!=}\ \psi[\alpha]$ .
$\underset{\mathfrak{A}}{|\!\!\!=}\ (\exists x\varphi)[\alpha]\iff$ 对于一些 $a\in A$ ，有 $\underset{\mathfrak{A}}{|\!\!\!=}\ \varphi[\alpha_{x\to a}]$ . 我们将 $a$ 称为 witness （不知道怎么翻译了，或许叫见证常量？）

之后的 Proposition 2.1.25 比较显然，就不在这里写了.

还是利用一阶算数语言举例，对于任意的 $\Omega$-指派 $\alpha$ ，有

\[ \underset{\Omega}{|\!\!\!=}\ x< \dot{\mathrm{S}}y \to (x< y\lor x=y)[\alpha]; \]

这里实际上就是说，对于自然数，如果一个数小于另一个数的后继，即 $m<n+1$ ，要么 $m=n$ 要么 $m<n$ .

一阶语言的大小、基数

定义：有限一阶语言、基数

一个语言 $L$ 称为有限的 （可数的），当且仅当其非逻辑符号集合都是有限集（可数集）.

对于任意的无限集合基数 $\kappa$ (\kappa)，称 $L$ 为基数 $\kappa$ 的语言当且仅当非逻辑符号集合的基数为 $\kappa$ .

注意：即使是有限的语言也会有无限多的项和公式.

下面是简单推论：

推论

对于任意语言 $L$ ：

如果 $L$ 是可数的，那么 $\mathrm{Te}_L,\mathrm{AtFm}_L$ 和 $\mathrm{Fm}_L$ 都是可数集.
对于任意无限基数 $\kappa$ ，如果 $L$ 有基数 $\kappa$ ，那么 $\mathrm{AtFm}_L$ 和 $\mathrm{Fm}_L$ 是基数为 $\kappa$ 的集合.

证明需要使用初等的集合论，感兴趣的话看英文原文. $\square$

教材上剩余的部分是讨论有效性 (effectiveness) 的问题，我们自此打住日后再来看. （反正老师也没有再说，何必逼自己 😫）

一阶语言的语法和语义(Syntax and Semantics of First-order Languages)

翻译须知

语法部分

数学结构

一阶逻辑语言

一阶逻辑语言示例

\(L\)-项

\(L\)-项的唯一可读性

\(L\)-公式

\(L\)-原子公式

\(L\)-公式与其唯一可读性

\(L\) - 结构

语义部分

\(\mathfrak{A}\)-真值指派

\(L\)-公式的取值

一阶语言的大小、基数

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