数学理论 (Theories)

这个部分和命题逻辑的命题理论(Propositional Theories)是非常相似的.

$L$ 理论

理论与定理

定义：$L$-理论

对于任意的 $L$ 语句集 $\Gamma$ ，
$\Gamma$ 是一个 $L$ 理论，如果 $\Gamma$ 在逻辑后承的意义下封闭：$$ \Gamma\models \psi \text{ and }\psi\text{ is a sentence}\Rightarrow \psi\in \Gamma; $$
$\Gamma$ 的元素称为 $\Gamma$ 中的定理.

$\mathrm{Mod}(\Gamma)$ 表示 $\Gamma$ 的所有模型组成的类，此时我们不写 $\mathrm{Mod}(\left\lbrace \varphi_0,\cdots,\varphi_n \right\rbrace)$ ，而写 $\mathrm{Mod}( \varphi_0,\cdots,\varphi_n )$.

推论

对于任意的语句集 $\Gamma$ 和 $\Delta$ 以及任意语句 $\psi$ ，

$\Gamma \models \psi \iff \mathrm{Mod}(\Gamma) \subseteq \mathrm{Mod}(\psi)$ ；
$\Gamma \subseteq \Delta \Rightarrow \mathrm{Mod}(\Delta) \subseteq \mathrm{Mod}(\Gamma)$ ；
$\Gamma$ 是相容的当且仅当 $\mathrm{Mod}(\Gamma)\neq \varnothing$.

需要注意的是，理论和定理都是基于语句集而非公式集，这是因为 $L$ 语句本身的真值不依赖于变量赋值.

公理

定义：生成的理论、公理

对于任意语句集 $\Gamma$ ，由 $\Gamma$ 生成的集合
$$ \mathrm{Th}(\Gamma) = \left\lbrace \psi: \psi \text{ is a sentence and } \Gamma\models \psi \right\rbrace $$
称为由 $\Gamma$ 生成的理论，并且 $\Gamma$ 为 $\mathrm{Th}(\Gamma)$ 的公理集.

举例：

考虑严格线序的理论 $T_{\mathrm{SLO}} := \mathrm{Th(\theta_{\mathrm{SLO}})}$ ，其模型 $\mathrm{Mod}(T_{\mathrm{SLO}})$ 就是具有严格线序性质的所有结构.
$L_=$ 的理论 $\mathrm{Th}(\left\lbrace \exists^{\geqslant n}: n>0 \right\rbrace)$ 的模型是所有全域为无穷集的结构.

可有限公理化理论

如果一个理论可以被表为 $\mathrm{Th}(\Gamma)$ ，那么就被称为公理化理论 (axiomatic theory).

由定义，可以推得 $\Gamma$ 是一个理论当且仅当 $\Gamma = \mathrm{Th}(\Gamma)$ ，因此任何的理论实际上都是公理化理论.

定义：可有限公理化

一个理论 $T$ 是可有限公理化的 (finitely axiomatizable) ，如果 $T=\mathrm{Th}(\Gamma)$ ，其中 $\Gamma$ 是有限语句集. 如果 $\Gamma$ 是可判定的，则称 $T$ 为可判定公理化的. （见可判定性的笔记部分）.

相容、完全理论的等价条件

命题

对于任意的理论 $T$ ，如下结论等价：

$T$ 是完全的；
$T$ 是极大相容 (maximal consistent) 的，意思就是说 $T$ 是相容的但是没有一个比它更大的相容的集合.
$T$ 是相容的，并且对于 $T$ 的任意模型 $\mathfrak{A}$ ，有 $T = \mathrm{Th}(\mathfrak{A})$；
$T$ 是相容的，且对于 $T$ 的任意的两个模型 $\mathfrak{A}$ 和 $\mathfrak{B}$ ，$\mathfrak{A}\equiv \mathfrak{B}$ .

(1) $\Rightarrow$ (3) :
关键是验证后半个部分，$T \subseteq \mathrm{Th}(\mathfrak{A})$ 是显然的. 对另一个方向，若不然，则存在语句 $\varphi$ ，使得 $\varphi\in \mathrm{Th}(\mathfrak{A})$ 且 $\varphi\notin T$ .

(4) $\Rightarrow$ (1) :
反证，若 $T$ 不完全，则结合 $T$ 相容可知存在 $\varphi$ ，使得 $\varphi\notin T$ 且 $\neg \varphi\notin T$ ，即 $T\not\models \varphi$ 且 $T \not\models \neg \varphi$ .

那么存在 $T$ 的模型 $\mathfrak{A}$ 使得 $\underset{\mathfrak{A}}{|\!\!\!\neq}\ \varphi$ ，从而 $\underset{\mathfrak{A}}{|\!\!\!=} \ \neg\varphi$ ，且存在 $T$ 的模型 $\mathfrak{B}$ 使得 $\underset{\mathfrak{B}}{|\!\!\!\neq} \neg\varphi$ ，从而 $\underset{\mathfrak{B}}{\models} \varphi$ .

这也就出现 $\mathfrak{A} \not\equiv \mathfrak{B}$ ，矛盾. $\square$

模型完全

定义：模型完全

如果理论 $T$ 的任意两个模型 $\mathfrak{A},\mathfrak{B}$ ，只要 $\mathfrak{A}$ 是 $\mathfrak{B}$ 的子模型，就有 $\mathfrak{A}$ 是 $\mathfrak{B}$ 的初等子模型，则称理论 $T$ 是模型完全 (model complete) 的.

稠密线序 (Dense Linear Orderings)

稠密线序的研究

我们回顾逻辑语义(Basic Semantics) 当中提到的一个稠密（严格）线序的例子，我们简要提了一下：

\[ \underset{\mathfrak{A}}{\models} \theta_{\mathrm{DLO}} \iff \mathfrak{A} \text{ 是稠密（严格）线序的}. \]

接下来我们不再写严格，我写严格的一个主要目的就是强调稠密线序是基于严格线序的. 但是之后我们不用强调.

从 $\theta_{\mathrm{DLO}}$ 中我们可以生成理论 $T_{\mathrm{DLO}}$ ，我们考虑它的完全性，可以知道 $T_{\mathrm{DLO}}$ 是不完全的，一个很明显的例子就是常见的全域为 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$ 以及它们的子集的结构在考虑如下的两个语句的时候：

\[ \begin{aligned} &\theta_{\mathrm{least}} := \exists x\forall y \neg y < x \\ & \theta_{\mathrm{greatest}} := \exists x\forall y \neg x < y \end{aligned} \]

这两个语句也就是是否有最小值和最大值的语句，我们无法确定它们或者它们的否定在 $T_\mathrm{DLO}$ 中.

这就是说，$(\mathbb{Q},<_\mathbb{Q})$ 中没有最值，而 $((0,1],<_{(0,1]})$ 没有最小值而有最大值.

我们为什么要关注这个问题 (What is the motivation?)？事实上，我们可以证明，这两个语句是仅有的无法确定的语句，如果这两个语句确定，那么就能证明初等等价，例如 $(\mathbb{Q},<_\mathbb{Q})\equiv (\mathbb{R},<_\mathbb{R})$ .

Cantor 定理

根据教材，定义如下符号：

\[ \begin{aligned} &\theta_{[\mathrm{DLO}]}:=\theta_{\text {DLO }} \wedge \theta_{\text {least }} \wedge \theta_{\text {greatest }} ; \quad &T_{[\mathrm{DLO}]}=\operatorname{Th}\left(\theta_{[\mathrm{DLO}]}\right) \\ &\theta_{[\mathrm{DLO})}:=\theta_{\text {DLO }} \wedge \theta_{\text {least }} \wedge \neg \theta_{\text {greatest }} ; \quad &T_{[\mathrm{DLO})}=\operatorname{Th} \left(\theta_{[\mathrm{DLO})}\right) \\ &\theta_{(\mathrm{DLO}]}:=\theta_{\mathrm{DLO}} \wedge \neg \theta_{\text {least }} \wedge \theta_{\text {greatest }} ; \quad & T_{(\mathrm{DLO}]}=\operatorname{Th}\left(\theta_{(\mathrm{DLO}]}\right) \\ &\theta_{(\mathrm{DLO})} := \theta_{\mathrm{DLO}}\land \neg \theta_{\mathrm{least}} \land \neg \theta_{\mathrm{greatest}} ; & T_{(\mathrm{DLO})} = \mathrm{Th}(\theta_{(\mathrm{DLO})}) \\ \end{aligned} \]

这个就是将之前的稠密线序进行进一步的强化，最后我们利用这个符号引出 Cantor 定理：

定理：Cantor 定理

在理论 $T_{[\mathrm{DLO}]},T_{[\mathrm{DLO})},T_{(\mathrm{DLO}]},T_{(\mathrm{DLO})}$ 中，任意一个理论的任意两个至多可数模型是同构的.

数学理论 (Theories)

\(L\) 理论