紧性的应用 (Applications of compactness)
有限公理化
定义：可公理化&可有限公理化
对于任意的理论 \(T\) 和任意的 \(T\) 的模型类 \(\mathcal{K} \subseteq \mathrm{Mod}_L(T)\) ，称 \(\mathcal{K}\) 在 \(T\) 上可公理化，如果存在语句集 \(\Gamma\) ，\(\mathcal{K} = \mathrm{Mod}_L(T\cup \Gamma)\) . 如果 \(\Gamma\) 可以是有限的集合，那么就称可有限公理化.
此外，如果 \(T\) 是一个最小理论：\(\left\lbrace \varphi: \models \varphi \right\rbrace\) ，就简单称 \(\mathcal{K}\) 为可公理化或可有限公理化的.
命题
对一个 \(L_<\) 结构类 \((A,<_A)\) ，其中\(A\) 为 \(<_A\) 下的良序集，\(A\) 是不可公理化的.
良序集
定义：良序集
对于一个全序集 \((X,\leqslant)\) ，如果任意非空 \(A\subseteq X\) 都有最小元，那么就称 \((X,\leqslant)\) 为良序集.