ZF 集合论 IV —— 基数、幂集公理

这一章相对比较熟悉，因为我们已经在拓扑学或者实变函数中建立起了有关基数的直觉.

基数

集合大小

定义：集合大小比较

$A \precsim B$ 当且仅当存在 $A$ 到 $B$ 的单射（嵌入）；
$A \approx B$ 当且仅当存在 $A$ 到 $B$ 的双射；
$A \prec B$ 当且仅当 $A \precsim B$ 且 $B\not\precsim A$.

这里用的符号 $\precsim$ 和序数当中的 $\leqslant$ 是不一样的，Kunen 可能也是为了区分这两个运算才用不同的符号.

其实还有一个比较有意思的问题：是否所有的集合都能进行基数的比较？ 这个问题和选择公理有关. 在后续将进行讨论.

定理：Schröder-Bernstein 定理

\[ A \precsim B, B\precsim A\to A\approx B. \]

在实变函数中已经接触，不重复证明.

基数

定义：$|A|$

如果 $A$ 是可良序化的，那么 $|A|$ 是使得 $\alpha\approx A$ 的最小的序数 $\alpha$.

如果承认选择公理，那么“可良序化”这个部分实际上就是多余的. 反过来说，如果使用 $|A|$ ，那么就已经蕴涵了 $A$ 可良序化.

定义：基数

序数 $\alpha$ 为基数当且仅当 $\alpha = |\alpha|$.

定理

如果 $|\alpha| \leqslant \beta \leqslant \alpha$ ，那么 $|\beta| =|\alpha|$.

定理

如果 $n\in \omega$ ，那么：

$n\not\approx n+1$.
$\forall \alpha(\alpha\approx n\to \alpha = n)$.

定理

$\omega$ 为基数，且每个 $n\in \omega$ 均为基数.

有限、可数、不可数

定义：有限、可数、不可数

$A$ 是有限集当且仅当 $|A|<\omega$.
$A$ 是至多可数集当且仅当 $|A|\leqslant \omega$.
无限即有限的否定，不可数即至多可数的否定.

但是现在没有幂集公理，实际上我们没办法构造出一个不可数的集合.

基数运算

加法和乘法

定义：基数加法和乘法

$\kappa\oplus \lambda = |\kappa\times \left\lbrace 0 \right\rbrace\cup \lambda\times \left\lbrace 1 \right\rbrace|$.
$\kappa\otimes \lambda = |\kappa\times \lambda|.$

从直觉上来说，在有限的基数情形下，基数的加法应该和序数的加法是一致的，即有限情形下基数加法和乘法与序数加法乘法等价，因此我们有如下的定理：

定理

对于 $n,m\in \omega$ ，$n\oplus m = n+m < \omega$ ，且 $n\otimes m = n\cdot m< \omega$ .

此外，我们在实变函数中已经学到 $\omega$ （或者说 $a$ 或 $\aleph_0$ ）是基数，但是 $\omega+1$ 不是基数（或者说和 $\omega$ 在基数上是相等的），这也帮助我们理解如下的命题：

定理

任何一个无穷基数都是一个极限序数.

利用反证法，若不然，则 $\kappa$ 是后继序数，于是存在序数 $\alpha$ ，使得 $\kappa = \alpha+1$ ，因此

矛盾！$\square$

定理：无穷基数乘法

如果 $\kappa$ 是一个无穷基数，$\kappa\otimes \kappa = \kappa$ . （即$|\kappa\times \kappa| = \kappa$.）

这个和实变当中“两个可数集合的直积也是可数的”是类似的, 只不过这里推广到了所有的无穷基数当中.

证明：利用 Bernstein 定理，其中 $\kappa \leqslant |\kappa\times \kappa|$ 显然，另一侧的对应相对更困难，考虑超限归纳法，假设对比 $\kappa$ 小的所有基数都满足该条件，即 $\alpha< \kappa$ 均满足 $\alpha\otimes \alpha = \alpha$ . 考虑在 $\kappa\times \kappa$ 上定义一个良序 $\lhd$ ，其中 $\left\langle \alpha,\beta \right\rangle \lhd \left\langle \gamma,\delta \right\rangle$ 当且仅当：

\[ \begin{aligned} \max (\alpha,\beta) < \max (\gamma,\delta) \lor [\max (\alpha,\beta) = \max (\gamma,\delta) \\ \land \left\langle \alpha,\beta \right\rangle\text{ precedes }\left\langle \gamma,\delta \right\rangle \text{ lexicographically}]. \end{aligned} \]

这个序关系用人话来说就是先比较最大元，如果最大元相等就按位置依次比较，用图来表示就很明了：

$\kappa\times \kappa$ 的序型 $\leqslant \kappa$ 是由于对于任意的 $(\alpha,\beta)\in \kappa\times \kappa$ ，不难看到 $\left\langle \alpha,\beta \right\rangle$ 在正规良序的前趋至多是

\[ |(\max (\alpha,\beta)+1)\times (\max (\alpha,\beta)+1)| \]

个，此时记为 $|\gamma\times \gamma|$ ，且 $\gamma< \kappa$ ，那么根据归纳假设知成立. $\square$

都是同构，为什么序数和基数运算不同？

这里我们回头看看序数和基数的运算区别，我们知道，序数加法和乘法都没有交换性，但是基数却有，这里面最核心的区别在于同构的区别.

在序数的加法当中，$1+\omega$ 是先数 $1$ 再数 $\omega$ ，那么此时我当然可以每次映射往后移动一位；而 $\omega+1$ 是先数 $\omega$ 再数 $1$ ，我们不能将最后一个 $1$ 映射到前面的任何位置当中去，因为这样会破坏序关系. 因此，$1$ 必须单独列出来放在最后对应 $\omega$，不然同构就不能实现了.

而基数的加法不同，此时的同构无需保留序关系，因此只要有一一对应即可. $\omega$ 和 $\omega+1$ 的一一对应是相当好找的，让 $\omega+1$ 中多出来的那一个 $\omega$ 对应到 $0$ ，剩余的序数往后移动一位就行. 如下图：

我们看到它没有保序，这也和它们在序数的意义下不同构是一致的.

Remark.

序数的同构是保序同构，基数的同构只需一一对应. 这也是导致它们运算性质不同的最核心的区别.

基数运算的性质

定理

令 $\kappa,\lambda$ 是无穷基数，那么

(1) $\kappa\oplus \lambda = \kappa \otimes \lambda = \max (\kappa,\lambda)$.

(2) $|\kappa^{< \omega}| = \kappa$ .

(1) 不妨设 $\lambda = \max (\kappa,\lambda)$ ，那么有

\[ \lambda \leqslant \kappa\oplus \lambda \leqslant \kappa\otimes \lambda \leqslant \lambda \otimes \lambda \leqslant \lambda \]

从而结论成立.

(2)

幂集公理、选择公理的应用

公理 8：幂集公理：

\[ \forall x\exists y \forall z (z \subset x \to z \in y) \]

即：任何集合的幂集都是集合. 其中的 $y$ 即为 $x$ 的幂集，记为 $\mathscr{P}(x)$ .

Hartogs 数

定义：Hartogs 数

对任何集合 $A$ ，令 $h(A)$ 是不能与 $A$ 的任何子集等势的最小序数，称 $h(A)$ 是 $A$ 的 Hartogs 数.

我们接下来需要证明它的存在性以及其为基数.

先证明基数，假设 $h(A)$ 存在，即证任意小于 $h(A)$ 的序数 $\beta$ ，都有 $\beta\not\approx h(A)$ . 若不然，则 $\beta\approx h(A)$ ，而 $\beta$ 与 $A$ 的某个子集等势，从而 $h(A)$ 也和某个子集等势，从而与 $h(A)$ 的定义矛盾！

下面证明其存在性：（Kunen 10.16）
设 $W \subseteq A$ ，$W$ 可良序，设 $R$ 为 $W$ 的一个良序，则有唯一序数 $\alpha$ 是良序集 $(W,R)$ 的序型，令

\[ H = \left\lbrace \alpha\in \mathbf{ON},\exists R \in \mathscr{P}(A\times A), R \text{ 是良序关系}, \alpha\text{ 是良序的序型}. \right\rbrace \]

根据替换公理，可知 $H$ 是集合，不难验证与 $A$ 的子集等势的序数一定在 $H$ 中.

设序数 $\alpha$ 与 $A$ 的某个子集等势，则存在单射 $f: \alpha\to A$ ，记 $W = \mathrm{ran} f \subseteq A$ ，令

\[ R = \left\lbrace \left\langle f(\delta),f(\gamma) \right\rangle : \delta < \gamma < \alpha \right\rbrace \]

则 $R\in \mathscr{P}(A\times A)$ 是 $W$ 的一个良序，而 $\alpha$ 是 $(W,R)$ 的序型，因此 $\alpha\in H$ . $\square$

在 Kunen 教材上，Hartogs 数的术语没有被引进，而是用符号来代表了：

定义：后继基数，极限基数

$\alpha^+$ 是最小的 $> \alpha$ 的基数. $\kappa$ 为后继基数当且仅当存在 $\alpha$ 使得 $\kappa = \alpha^+$. $\kappa$ 为极限基数，当且仅当 $\kappa> \omega$ 且 $\kappa$ 不为后继基数.

定义：$\aleph$ 数

$\aleph_a = \omega_a$ 通过如下对 $\alpha$ 的超限递归的方式定义：

$\omega_0 = \omega$.
$\omega_{a+1} = (\omega_a)^+$.
对极限序数 $\gamma$ ，$\omega_\gamma = \sup\left\lbrace \omega_a: \alpha< \gamma \right\rbrace$ .

如果看过《从一到无穷大》这本书的话，对这样的表示实际上会感到比较亲切，此时的 $\aleph$ 数实际上表示不同大小的“无穷”.

$\omega_\alpha$ 的性质

(1) 每个 $\omega_\alpha$ 都是一个基数；

(2) 每个无穷基数都存在一个 $\alpha$ 使其与 $\omega_\alpha$ 相等；

(3) $\alpha< \beta \to \omega_\alpha < \omega_\beta$.

(4) $\omega_\alpha$ 是一个极限基数当且仅当 $\alpha$ 为极限序数. $\omega_\alpha$ 是一个后继基数当且仅当 $\alpha$ 是后继序数.

需要选择公理的性质

下列的性质依赖于选择公理.

性质：满射的基数关系

如果存在从 $X$ 到 $Y$ 的满射，那么 $|Y| \leqslant |X|$.

构造从 $Y$ 到 $X$ 的单射 $g$ ，从满射 $f:X\to Y$ 来构造，取 $g(y)$ 为 $f^{-1}(\left\lbrace y \right\rbrace)$ 的最小元即可（这个取最小元就依赖于良序定理）. 此时 $g$ 为单射，从而 $Y \precsim X$ . $\square$

实变函数中 AC 的应用

定理

任何无穷集有可数子集.

在实变当中，证明过程就是不断取：

\[ a_k \in A \]

将 $\left\lbrace a_k \right\rbrace_{k \geqslant 1}$ 组合为一个可数子集即可，但是实际上这里面就用到了选择公理.

定理

可数个可数集的并还是可数集.

$\omega\times \omega$ 的问题

$\omega\times \omega$ 是可数集这个命题证明不需要选择公理.

基数指数运算

基数指数

定义：基数指数

\[ \begin{aligned}A^B =\ ^BA & = \lbrace f: f\text{ 是一个函数 } \\ &\land \mathrm{dom}(f)=B \\ & \land \mathrm{ran}(f) \subset A \rbrace.\end{aligned} \]

由于 $A^B \subset \mathscr{P}(B\times A)$ ，所以 $A^B$ 依据幂集公理可知存在.

这个表示主要用来表示从 $B$ 到 $A$ 的所有映射的集合（不需要满射或单射）.

由于二者实际上表示的含义差不多，为了区分， Kunen 教材采用的方法是：用 $\kappa^\lambda$ 表示基数，而 $^\lambda \kappa$ 表示集合. 也就是如下的定义：

定义(AC)

$\kappa^\lambda = |^\lambda \kappa|$.

基数指数的性质

定理：基数指数的运算性质

如果 $\kappa,\lambda,\sigma$ 是任意基数，那么
$$ \kappa^{\lambda\oplus \sigma} = \kappa^\lambda\otimes \kappa^\sigma,(\kappa^\lambda)^\sigma = \kappa^{\lambda\otimes \sigma} $$

后一个即构造

\[ ^{C\times B}A\to \ ^C(^BA) \]

之间的双射.

连续统假设与共尾

连续统假设

定义：连续统假设

连续统假设 (CH) 即语句：$\omega_1 = 2^\omega$ ，广义连续统假设 (GCH) 为语句：$\omega_{\alpha+1} = 2^{\omega_\alpha}$.

在广义的连续统假设下， $\kappa^\lambda$ 是非常好计算的，但是我们需要先引入共尾性的概念.

共尾

定义：无界

设 $A$ 是序数 $\alpha$ 的子集，如果 $A$ 满足：
$$ \forall \gamma < \alpha \exists \xi \in A (\gamma \leqslant \xi) $$
则称 $A$ 是 $\alpha$ 中是无界的.

定义：共尾

如果 $f:\alpha\to \beta$ ，$f$ 称为共尾映射 (confinal map) ，如果 $\mathrm{ran}(f)$ 在 $\beta$ 上无界.

定义：共尾性 (cofinality)

$\beta$ 的共尾性 ($\mathrm{cf}(\beta)$ ) 是存在 $\alpha$ 到 $\beta$ 的共尾映射的最小的 $\alpha$.

这里实际上需要更多的一些表述来让我们理解，首先共尾的概念刻画了一些比较有意思的现象.

我们可以看一个共尾映射的例子，对 $\aleph_0$ 到 $\aleph_\omega$ 之间的映射，可以构造如下的共尾映射：

\[ f(n) = \aleph_n \]

它在 $\aleph_\omega$ 上是无界的，因此 $f$ 是共尾映射. 但是，对于 $\aleph_0$ 到 $\aleph_1$ ，就不存在这样的共尾映射了，这个具体我们在后续说明.

对于 $\omega$ 的子集，可以知道 $\omega$ 的子集共尾性是 $\aleph_0$ 当且仅当其为无限集，如果是有限集，那么它的共尾性实际上就是 $1$ .

定义：正则序数，奇异序数

对任何序数 $\alpha$，如果 $\mathrm{cf}(\alpha) = \alpha$ ，就称 $\alpha$ 是正则的，不是正则的序数称为奇异的.

共尾的部分命题

$A \subset \alpha$ 是无界的当且仅当 $\alpha = \bigcup \left\lbrace \xi+1 \mid \xi \in A \right\rbrace$. 因此，对任意的序数，如果 $f: \mathrm{cf}(\alpha)\to \alpha$ 是共尾映射，则 $$ \bigcup_{\xi< \mathrm{cf}(\alpha)}[f(\xi)+1]=\alpha. $$
对任意的 $\alpha$ ，$\mathrm{cf}(\alpha) \leqslant \alpha$ ；
任意后继序数 $\alpha = \beta+1$ 的共尾是 $1$ ；
对任意极限序数 $\alpha>0$ ，$\mathrm{cf}(\alpha) \geqslant \omega$.

(2) 这是显然的，因为恒等映射 $f:\alpha\to \alpha$ 显然是一个共尾映射.

(3) 这个性质是由于我们直接将 $1 = \left\lbrace 0 \right\rbrace$ 映射到 $\beta+1 = \beta \cup \left\lbrace \beta \right\rbrace$ 的 $\beta$ 即可. 如果是极限序数，就找不到最大的那一个了.

(4) 直接反证即可，若 $\mathrm{cf}(\alpha)< \omega$ ，则存在一个有限集 $\gamma$ 和共尾映射 $g$ ：

\[ g: \gamma\to \alpha \]

因此我们得到了一个长为 $\gamma$ 的有限序列：

\[ \left\langle g(0),g(1),\cdots, g(\gamma-1) \right\rangle \]

故可从中取得最大值，设为 $M$ ，而 $M < \alpha$ 是显然的，也就是说 $M+1 \in \alpha$ ，这就不是无界的了，和 $g$ 是共尾映射相矛盾. $\square$