ZF 集合论 V —— 选择公理
选择公理 (The Axiom of Choice)
公理：选择公理 (Jech)
选择公理：任何一个非空集合族必定有选择函数.
如果 \(S\) 是一个集合族，且 \(\varnothing\notin S\) ，那么 \(S\) 上的一个选择函数是 \(S\) 上的函数 \(f\) ，对任意的 \(X\in S\) 有
直观点说，就是 \(f\) 会直接取到 \(X\) 的一个元素.
需要注意的是，选择公理只确定了存在性，而不会确定具体的选择函数.
在 ZFC 集合论当中，存在很多如果不用选择公理就无法证明的例子. 这个在之前就已经阐述. 哪些情况不需要选择公理？有以下几个情景：
(1) 单点集情形：如果 \(X\in S\) 且 \(X = \left\lbrace x \right\rbrace\) 为单点集；
(2) 有限集情形：对 \(S\) 使用归纳法即可；
(3) \(X\in S\) 有限良序集情形：此时已经可以构造出选择函数 \(f(X)\) 为 \(X\) 的最小元素.
事实上，对于 \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) 和 \(\mathcal{P}(\mathbb{Q})\) ，它们选择函数的存在性无需选择公理. \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) 可以取最小元，\(\mathcal{P}(\mathbb{Q})\) 也类似，也有 \(\dfrac{p}{q}\) 暗含了序，从而可取.
选择公理和良序定理的等价性
定理：Zermelo 良序定理
每一个集合都可以良序化.
令 \(A\) 为集合，为了使 \(A\) 良序化，我们需要利用超限归纳法，
选择公理的应用结果
Zorn 引理
下面的引理将会在泛函分析当中用到.
定理：Zorn 引理
如果 \((P,<)\) 是一个非空偏序集，且 \(P\) 中每个链都有上确界，那么 \(P\) 有最大元.
链
链的定义是：一个集合 \(X\) 是链当且仅当对于任意的 \(x,y\in X\) 都有 \(x < y\) 或者 \(y<x\).
定理
任何一个向量空间都有基.
Cauchy 方程的不连续解
定义：Cauchy 方程
在数学分析当中，我们知道，如果加上 \(f\) 连续的条件，Cauchy 函数就有解，但是 Cauchy 方程有无不连续解呢？这个问题实际上也和选择公理有关.
连续与序列连续的等价性
\(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上序列连续的定义是：对于任意的 \(x_0\in \mathbb{R}\) 以及收敛于 \(x_0\) 的数列 \(\left\lbrace x_n \right\rbrace\) ，都有
以下定理实际上就是 Heine 归结原则：
定理
函数 \(f\) 连续 \(\iff\) 函数 \(f\) 序列连续.
不同强度的选择公理
公理：可数选择公理
每个非空的，包含可数多个集合的集合族都存在一个选择函数.
公理：(DC) 依赖选择公理
假设 \(E\) 是一个非空集合 \(A\) 上的二元关系，且对于每个 \(a\in A\) 都存在 \(b\in A\) 使得 \(bEa\) ，那么存在一个 \(A\) 中的序列 \(a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdots\) ，使得
$$ a_{n+1}E a_n, \quad (\forall n\in \mathbb{N}) $$