ZF 集合论 VI —— 正则公理
正则公理
公理：正则公理（基础公理）
\[
\forall x ( x\neq 0 \to \exists y\in x( x\cap y =0))
\]
这个公理等价于 \(\mathbf{V} = \mathbf{WF}\) ，这里的 \(\mathbf{WF}\) 是所有良基集合的类，在稍后将详细阐述.
正则公理实际上规避了之前在传递集里面讨论的一个集合：\(x=\left\lbrace x \right\rbrace\) .
良基集合类
定义：\(R(\alpha)\)
利用超限递归，定义 \(R(\alpha)\) ，\(\alpha\in \mathbf{ON}\) ：
- \(R(0)=0\).
- \(R(\alpha+1)=\mathcal{P}(R(\alpha))\).
- \(R(\alpha) = \bigcup_{\xi< \alpha}R(\xi)\) ，其中 \(\alpha\) 为极限序数.
有
\[
\begin{aligned}
& R(0) = 0 \\
& R(1) = \left\lbrace 0 \right\rbrace = 1 \\
& R(2) = \left\lbrace 0, \left\lbrace 0 \right\rbrace \right\rbrace = \left\lbrace 0,1 \right\rbrace =2 \\
& R(3) = \left\lbrace 0,1, \left\lbrace 1 \right\rbrace , 2\right\rbrace = 3
\end{aligned}
\]
这是一个不断做幂集的过程.
定义：良基集合类
\[ \mathbf{WF}= \bigcup \left\lbrace R(\alpha) : \alpha\in \mathbf{ON} \right\rbrace \]
秩
定义：秩
如果 \(x\in \mathbf{WF}\) ，秩 \(\mathrm{rank}(x)\) 是使得 \(x\in R(\beta+1)\) 的最小的 \(\beta\) .