概率论第五周作业

习题 3 T3

$C$ 应取何值才能使下列的数列称为概率分布？

$p_k = \dfrac{C}{N}, k=1,2,\cdots,N$ ;
$p_k = C \dfrac{\lambda^k}{k!},k=1,2,\cdots,\lambda>0$.

(1) 根据 $\sum\limits_{k=1}^\infty p_k = 1$ ，有

\[ \sum\limits_{k=1}^\infty p_k = C \sum\limits_{k=1}^N \frac{1}{k} = 1 \]

故

\[ C = \frac{1}{\sum\limits_{k=1}^N \frac{1}{k}} \]

(2) 同理有

\[ \sum\limits_{k=1}^\infty p_k = C \sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{\lambda^k}{k!} = 1 \]

而由 $\mathrm{e}^x$ 的 Maclaurin 展开有

\[ C = \mathrm{e}^{-\lambda} \]

$\square$

习题 3 T4

若分布函数定义为 $F(x)= P \left\lbrace \xi \leqslant x \right\rbrace$ 试证明这时的 $F(x)$ 具有下列性质：

非降
$F(- \infty) = 0, F(+\infty) =1$；
右连续.

(1) 设 $x_1 < x_2$ ，那么

\[ F(x_2)-F(x_1) = P \left\lbrace x_1<\xi \leqslant x_2 \right\rbrace \geqslant 0 \]

从而 $F(x)$ 非降.

(2) 考虑 $P \left\lbrace -\infty < x < \infty \right\rbrace=1$ ，有

\[ \begin{aligned} P \left\lbrace -\infty < x < \infty \right\rbrace &= \sum\limits_{k=-\infty}^\infty [F(k)-F(k-1)] \\ &= F(+\infty)-F(-\infty) \\ &= 1 \end{aligned} \]

由于 $F(x)\in [0,1]$ ，有 $F(+\infty) = 1$ 且 $F(-\infty)=0$ .

(3) 考虑趋于 $x$ 的单调降的序列：$\left\lbrace x_n \right\rbrace$ ，$x_0 > x_1> x_2 > \cdots, x_n \to x$ ，那么有

\[ \begin{aligned} F(x_0)-F(x) &= P \left\lbrace x < \xi \leqslant x_0 \right\rbrace \\ &= \sum\limits_{k=1}^\infty P \left\lbrace x_{k}< x \leqslant x_{k-1} \right\rbrace\\ &= \sum\limits_{k=1}^\infty [F(x_{k-1})-F(x_k)] \\ &= F(x_0) - \lim_{k\to \infty} F(x_k) \end{aligned} \]

那么 $F(x) = \lim\limits_{k\to \infty}F(x_k)$ ，从而由 $x_k$ 单调降可得右连续. $\square$

习题 3 T5

若 $\zeta\sim N(0,1)$ ，试求常数 $a,b,c$ 使得

$a=P \left\lbrace \zeta \geqslant 1.645 \right\rbrace$.
$P \left\lbrace |\zeta|<b \right\rbrace = 95\%$.
$P \left\lbrace |\zeta-c| >c \right\rbrace=0.51$.

(1) 由 $\zeta \sim N(0,1)$ ，则有

\[ P \left\lbrace \zeta < x \right\rbrace = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^x\mathrm{e}^{- \frac{y^2}{2}}\mathrm{d}y \]

考虑

\[ P \left\lbrace \zeta < 1.645 \right\rbrace = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{1.645}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x \approx 0.950015 \]

故 $a\approx 1-0.950015 = 0.049985$ . 保留两位小数有 $a\approx 0.05$ .

(2) 即

\[ P \left\lbrace -b<\zeta < b \right\rbrace = 0.95 \]

因此有 $P \left\lbrace \zeta<b \right\rbrace = \dfrac{1-0.95}{2}+0.95= 0.975$ . 计算可得 $b \approx 1.96$ .

(3) 考虑

\[ P \left\lbrace \zeta < 0 \right\rbrace+ P \left\lbrace \zeta> 2c \right\rbrace = 0.51 \]

其中由于 $\mu =0$ 可知 $P \left\lbrace \zeta<0 \right\rbrace = 0.5$ ，因此 $P \left\lbrace \zeta>2c \right\rbrace = 0.01$ . $c\approx 1.163$ . $\square$

习题 3 T10

设随机变量 $\xi$ 取值于 $[0,1]$ ，若 $P \left\lbrace x \leqslant \xi < y \right\rbrace$ 只与长度 $y-x$ 有关，试证明 $\xi$ 服从 $[0,1]$ 均匀分布.

设密度函数为 $p(x)$ ，那么有

\[ P \left\lbrace x \leqslant \xi < y \right\rbrace = \int_x^y p(t)\mathrm{d}t \]

固定长度为 $\eta$ ，那么有

\[ \int_x^{x+\eta} p(t) \mathrm{d} t \]

与 $x\in [0,1-\eta]$ 无关，根据数学分析的知识， $p(x)$ 为周期为 $\eta$ 的周期函数，同时又由 $\eta$ 的任意性，可知 $p(x)$ 为常值函数.

根据

\[ \int_0^1 p(x) \mathrm{d} x = 1 \]

可知

\[ p(x) = \begin{cases} 1, & x\in [0,1] \\ 0, & x\in (-\infty,0)\cup (1,+\infty) \end{cases} \]

故 $\xi$ 服从 $[0,1]$ 上的均匀分布. $\square$

习题 3 T12

定义二元函数：
$$ F(x,y) = \begin{cases}1, & x+y>0 \\ 0, & x+y \leqslant 0\end{cases} $$
验证此函数对每个变元都是非降、左连续的，且满足分布函数性质 (ii) ，但无法使 (3.2.5) 保持非负.

以 $x$ 变元为例，$y$ 类似，当 $y$ 固定为 $y_0$ 时，记 $\varphi(x) = F(x,y_0)$ ，此时

\[ \varphi(x) = \begin{cases} 0, & x \leqslant -y_0, \\ 1, & x> -y_0. \\ \end{cases} \]

显然是非降的，左连续也仅需考虑 $x=-y_0$ 点，易知

\[ \lim_{x\to -y_0^-} \varphi(x) = 0 =\varphi(-y_0) \]

从而左连续成立. $X=(x,y)\to -\infty$ 时，$F(X)=0$ 成立，$+\infty$ 时情形相似，$F(+\infty)=1$ . 因此分布函数性质 (ii) 也成立.

对 (3.2.5) 式，此时考虑

\[ F(1,1)-F(1,0)-F(0,1)+F(0,0) = 1-1-1+0 = -1 \]

因此无法保持非负. $\square$

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