概率论第七周作业
习题三T27
设 \(\xi\) 的密度函数 \(p(x)\) ，求下列随机变量的分布密度函数：
(1) \(\eta = \xi^{-1}\) ；
(2) \(\eta =\tan \xi\) ；
(3) \(\eta = |\xi|\) .
设 \(\eta\) 的分布函数为 \(G(x)\) ，\(\xi\) 的分布函数为 \(F(x)\) . \(\eta\) 的分布密度函数为 \(q(x)\) .
(1)
\[
P \left\lbrace \eta < x \right\rbrace = P \left\lbrace \frac{1}{\xi}< x \right\rbrace =
\begin{cases}
P \left\lbrace \xi > x^{-1} \right\rbrace + P \left\lbrace \xi <0 \right\rbrace, & x>0 \\
P \left\lbrace \xi<0 \right\rbrace , & x=0 \\
P \left\lbrace x^{-1}<\xi<0 \right\rbrace, & x<0
\end{cases}
\]
则对于分布函数有
\[
G(x) =
\begin{cases}
1 - F(x^{-1})+F(0), & x>0 \\
F(0), & x=0 \\
F(0)-F(x^{-1}), & x<0
\end{cases}
\]
对 \(x\) 进行求导可得：
\[
q(x) =
\dfrac{1}{x^2}p\left(\dfrac{1}{x}\right), x\neq 0
\]
(2)
\[
P \left\lbrace \eta <x \right\rbrace = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} P \left\lbrace k \pi- \frac{\pi}{2}< \xi < k \pi+ \arctan x \right\rbrace
\]
此时也就有
\[
G(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \left[F(k \pi+ \arctan x)- F\left(k \pi - \frac{\pi}{2}\right)\right]
\]
此时对 \(x\) 求导：
\[
q(x) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \left[F(k \pi+ \arctan x)- F\left(k \pi - \frac{\pi}{2}\right)\right]
\]
由 \(F(x)\) 可导，交换次序有
\[
q(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \dfrac{p(k \pi + \arctan x)}{1+x^2} = \dfrac{1}{1+x^2}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}p(k \pi + \arctan x)
\]
(3) 仅需考虑 \(x \geqslant 0\) 的情形，当 \(x< 0\) 时 \(P \left\lbrace \eta<x \right\rbrace\) 显然恒为 \(0\) .
\[
P \left\lbrace \eta < x \right\rbrace = P \left\lbrace -x < \xi < x \right\rbrace
\]
从而
\[
G(x) = F(x)-F(-x)
\]
求导可得
\[
q(x) = p(x)+ p(-x), x \geqslant 0
\]
\(\square\)
Remark.
随机变量函数的分布函数求法最通用的永远都是：直接写出分布函数并考虑求导. 需要注意的单纯是分类讨论.