样本空间与事件

样本空间

定义：样本空间和样本点

研究随机试验需要知道可能出现的结果，这些结果称为样本点，一般用 \(\omega\) 表示，样本点全体构成样本空间，用 \(\varOmega\) 表示。

例如：研究英文字母的使用情况就要把样本点选为：

\[ \varOmega = \left\lbrace A,B,C,\cdots, Z \right\rbrace \]

总共26个样本点.

事件

李贤平概率论当中对集合的定义为：给定任何一个点 \(\omega\) 都可以确认其属不属于 \(S\) ，如果是则记为 \(\omega\in S\) ，如果不是则记为 \(\omega\not\in S\) . 不包含任何点的集合为空集，记为 \(\varnothing\) .

定义：事件

我们把事件定义为样本点的某个集合，称某事件发生当且仅当它所包含的某个样本点出现.

因此我们可以改写必然事件和不可能事件的定义，这里略过。

事件的运算

包含关系

若 \(A\) 的每一个样本点都包含在 \(B\) 当中，则记为 \(A\subset B\) ，并称 \(A\) 被包含于 \(B\) .

如果 \(A \subset B\) 和 \(B \subset A\) 同时成立，则称 \(A\) 和 \(B\) 等价，或者相等，记为 \(A=B\) ，等价的事件总是同时发生.

定义：逆事件、对立事件

对于事件 \(A\) ，由所有不包含在 \(A\) 中的样本点所组成的事件称为 \(A\) 的逆事件，或称 \(A\) 的对立事件，记为 \(\overline{A}\) . \(\overline{A}\) 发生表示 \(A\) 不发生.

交并运算

\(A \cap B\) 或 \(AB\) 表示同时属于 \(A\) 和 \(B\) 的样本点的集合，称它为 \(A\) 和 \(B\) 的交，\(AB\) 表示两个事件同时发生. 如果 \(AB= \varnothing\) ，那么称两个事件互不相容.
相应的 \(A\cup B\) 表示两个事件至少发生一个.

定义：事件的和

对于互不相容的两个事件 \(A\) 和 \(B\) ，我们称它们的并为和. 记为 \(A+B\) .

用 \(A-B\) 表示在 \(A\) 中不在 \(B\) 中的样本点全体，称为差，此时 \(A\) 发生而 \(B\) 不发生.

De Morgan律

定理：对偶原理

\(\overline{A\cup B} = \overline{A}\cap \overline{B}\) ， \(\overline{A\cap B} = \overline{A}\cup \overline{B}\).

差可以用交和并表示：

\[ A-B = A\cap \overline{B} \]

对于可列个事件，对偶原理仍然成立，且定义运算符如下：

\[ \bigcup_{i=1}^\infty A_i = \lim_{n\to \infty}\bigcup_{i=1}^n A_i,\quad \bigcap_{i=1}^\infty A_i = \lim_{n\to \infty}\bigcap_{i=1}^n A_i \]

运算律

交换律： \(A\cup B=B\cup A\) ，\(AB=BA\)；
结合律；
分配律： \((A\cup B)\cap C=AC\cup BC\) .

有限样本空间

定义：有限样本空间

只有有限个样本点的样本空间称为有限样本空间.

设 \(\varOmega\) 为有限样本空间，其样本点为 \(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\) ，在这种场合可以把 \(\varOmega\) 的任何子集都当作事件，此时给定一个数与它对应，此数称为概率，记为 \(P(\omega_i)\) ，它是非负的，满足

\[ \sum\limits_{i=1}^n P(\omega_i)=1 \]

此时就定义了概率，注意，此时还未明确概率模型，因此仅仅只能把它当作一个对应的数看待。

定义：事件的概率

任何事件 \(A\) 的概率 \(P(A)\) 是 \(A\) 中各样本点的概率之和.

因此，对于事件的概率有 \(0\leqslant P(A)\leqslant1\) .

这个定义同样可以推广到可列个样本点的样本空间，这个空间被称为离散样本空间.