概率公理化结构

事件域

样本点、事件和样本空间

本节之后，样本点可以看作抽象的点 $\omega$ ，它们的全体构成样本空间 $\varOmega$ .

我们把事件 $A$ 定义为 $\varOmega$ 的一个子集，事件的发生等价于其中的样本点有至少一个发生. 但是，并不是一切子集都是事件，如果将不可测集合也作为事件，将会出现难以克服的困难.

$\sigma$ 域和事件域

定义： $\sigma$ 域

空间 $\varOmega$ 上满足如下三个要求的集类 $\mathscr{F}$ 为 $\sigma$ 域，也称为 $\sigma$ 代数:

$\varOmega\in \mathscr{F}$ ；
若 $A\in \mathscr{F}$ ，则 $\overline{A}\in \mathscr{F}$ ；
若 $A_n\in \mathscr{F},n=1,2,\cdots$ ，则 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathscr{F}$ .

$\sigma$ 域保证了逆运算和可列次并运算的封闭性，那么根据 De Morgan 律和差运算的交并表示，可以判断逆、并、交、差都可列次运算封闭。

且由于 $\overline{\varOmega} = \varnothing$ ，因此 $\varOmega$ 和 $\varnothing$ 均属于 $\sigma$ 域.

定义：事件域

若 $\mathscr{F}$ 是由样本空间 $\varOmega$ 的一些子集构成的一个 $\sigma$ 域，则称它为事件域，$\mathscr{F}$ 中的元素称为事件，$\varOmega$ 称为必然事件，$\varnothing$ 称为不可能事件.

此时的必然事件和不可能事件与之前的事件定义都不一致了。此外，由于 $\mathscr{F}$ 的定义本身没有完全确定子集，所以样本点不一定是事件.

例如，$\mathscr{F}=\left\lbrace \varnothing,\varOmega \right\rbrace$ 为事件域，但是此时只有 $\varnothing$ 和 $\varOmega$ 为事件，其余的样本点均不为事件.

最小的 $\sigma$ 域：$\left\lbrace \varnothing, \varOmega \right\rbrace$ ;
最大的 $\sigma$ 域：$\left\lbrace A| A\subseteq \varOmega \right\rbrace$ ；
包含事件 $A$ 的最小 $\sigma$ 域为： $\left\lbrace \varnothing,A, \overline{A}, \varOmega \right\rbrace$ .

例题：包含 $\mathscr{G}$ 的最小 $\sigma$ 域

证明：给定 $\varOmega$ 的一个非空集类 $\mathscr{G}$ ，必存在唯一的一个 $\varOmega$ 上的 $\sigma$ 域 $\mathfrak{m}(\mathscr{G})$ ，满足如下两个性质：
(1) 包含 $\mathscr{G}$ ；
(2) 若有其它 $\sigma$ 域包含 $\mathscr{G}$ ，则必然包含 $\mathfrak{m}(\mathscr{G})$ .
也就是说，$\mathfrak{m}(\mathscr{G})$ 为包含 $\mathscr{G}$ 的最小 $\sigma$ 域. 也称为 $\mathscr{G}$ 产生的 $\sigma$ 域.

首先证明存在包含 $\mathscr{G}$ 的 $\sigma$ 域，由于 $\varOmega$ 的一切子集构成的集类包含了 $\mathscr{G}$ ，并且易知其为 $\sigma$ 域，因此存在性得证.

现在取一切包含 $\mathscr{G}$ 的 $\sigma$ 域的交集为 $\mathfrak{m}(\mathscr{G})$ ，满足这两条性质是显然的，考虑证明其为 $\sigma$ 域.

$\mathfrak{m}(\mathscr{G})$ 是由 $\sigma$ 域交出来的，因此 $\varOmega\in \mathfrak{m}(\mathscr{G})$ 显然，对于 $A\in \mathfrak{m}(\mathscr{G})$ ，$A$ 必然在包含 $\mathscr{G}$ 的 $\sigma$ 域中，因此 $\overline{A}\in \mathfrak{m}(\mathscr{G})$ 成立. 可列可并性仍然是利用原来的 $\sigma$ 域的性质. $\square$

可列可加性与连续性

集合函数的连续性

为了解决可列可加性与有限可加性之间的桥梁问题，我们需要证明

\[ \lim_{n\to \infty} P\left(\sum\limits_{i=1}^n A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i) \]

此时可以发现，极限符号需要放到函数里面，而这个时候就需要连续性，因此需要引入集合函数的连续性

定义：集合函数的连续性

对于 $\mathscr{F}$ 上的集合函数 $P$，若它对 $\mathscr{F}$ 中任何一个单调不减的序列 $\left\lbrace S_n \right\rbrace$ 均成立
$$ \lim_{n\to \infty} P(S_n) = P\left(\lim_{n\to \infty} S_n\right) $$
则称集合函数 $P$ 是下连续的. 若将单调不减改为单调不增，则称为上连续的.

可列可加性的等价条件

有了这两个概念，我们就能给出如下的命题：

定理：可列可加性的等价条件

若 $P$ 是 $\mathscr{F}$ 上满足 $P(\varOmega) = 1$ 的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件为：

它是有限可加的；
它是下连续的.

充分性刚才已经阐述，只需要将极限符号往函数里面挪即可.

下面考虑必要性，对于单调不减的集合列 $\left\lbrace S_n \right\rbrace$ 有

\[ \bigcup_{i=1}^\infty S_i = \sum\limits_{k=1}^\infty (S_k-S_{k-1}) \]

其中规定 $S_0 = \varnothing$ ，那么右式当中的各个事件都是不交的，我们在这里将事件的并转变为不交事件的和，从而能应用可列可加性：

\[ P\left(\bigcup_{i=1}^\infty S_i\right) = \sum\limits_{i=1}^\infty P\left(S_i -S_{i-1}\right) = \lim_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n P(S_i-S_{i-1}) \]

由于 $P$ 满足可列可加性，自然也满足有限可加性：

\[ \sum\limits_{i=1}^n P(S_i-S_{i-1}) = P\left(\sum\limits_{i=1}^n S_i-S_{i-1}\right) = P(S_n) \]

从而

\[ P\left(\bigcup_{i=1}^\infty S_i\right) = P\left(\lim_{n\to \infty} S_n\right) = \lim_{n\to \infty}P(S_n) \]

下连续性因而成立. $\square$

上述命题对于上连续性也是等价的，因为对于上连续性，只需要取其对立事件即可将其中的集合列从单调不增变成单调不减.

概率空间

一维 Borel 点集

定义：一维 Borel $\sigma$ 域

一切形如 $[a,b)$ 的有界左闭右开区间构成的集类所产生的 $\sigma$ 域为一维 Borel $\sigma$ 域，记之为 $\mathscr{B}_1$ ，称 $\mathscr{B}_1$ 中的集合为一维 Borel 点集.

对于单个实数，有

\[ \{x\} = \bigcap_{n=1}^\infty \left[x,x+ \frac{1}{n}\right) \]

从而 $\mathscr{B}_1$ 中包含一切开区间、闭区间、单个实数、可列个实数以及相应的经过可列次逆、并、交运算而得出的集合.

概率公理化结构

事件域

样本点、事件和样本空间

\(\sigma\) 域和事件域

可列可加性与连续性

集合函数的连续性

可列可加性的等价条件

概率空间

一维 Borel 点集

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