二项分布与 Poisson 分布

Poisson 分布

Poisson 分布

定义：Poisson 分布

称服从 \(p(k;\lambda) = \dfrac{\lambda^k}{k!}\mathrm{e}^{- \lambda},k=1,2,\cdots\) 的分布为 Poisson 分布，\(\lambda\) 为参数.

Poisson 过程

定义：Poisson 过程

我们称一个过程为 Poisson 过程，如果它满足：

1. 平稳性（相同时间长度时间发生的可能性一样）
2. 独立增量性（任何时间段内的事件与以前事件独立）
3. 标准性（在很短时间内，最多只有一个事件发生）

利用符号表示上述的性质：

设 \(P_k(t)\) 表示时间 \(t\) 内发生 \(k\) 个事件的概率，显然：

\[ \sum\limits_{k=0}^\infty P_k(t) = 1 \]

且 \([T,T+t)\) 上发生的事件和 \(T\) 时刻之前的事件独立.

若记 \(\psi(t) = \sum\limits_{k=2}^\infty P_k(t) = 1-P_0(t)-P_1(t)\) ，则

\[ \lim_{t \to 0}\dfrac{\psi(t)}{t} = 0 \]

---

下面验证 \(P_k(t)\) 满足 Poisson 分布，根据独立增量性和全概率公式，在 \(\Delta t >0\) 时，

\[ P_k(t+\Delta t) = P_k(t)P_0(\Delta t)+P_{k-1}(t)P_1(\Delta t) +\cdots + P_0(t)P_k(\Delta t),k \geqslant 0 \]

对 \(n \geqslant1\) ，假定 \(P_{-n}(t)=0\) .

特别地：

\[ P_0(t+ \Delta t) = P_0(t)P_0(\Delta t) \]

由数学分析中的 Cauchy 命题可知，

\[ P_0(t) = a^t \]

如果 \(a=0\) ，那么 \(P_0(t)\equiv 0\) ，即超过 \(0\) 的事件 \(P_k(t)\) 的概率为 \(1\) ，这就和标准性矛盾. \(a=1\) 时，那就意味着不可能有别的事件发生，我们不关心这种情形，从而仅有 \(a<1\) 的情形. 存在 \(\lambda>0\) 有

\[ P_0(t) = \mathrm{e}^{-\lambda t} . \]

因此，当 \(\Delta t\to 0\) 时，我们有：

\[ P_0(\Delta t) = \mathrm{e}^{-\lambda t} = 1-\lambda \Delta t+ o(\Delta t) \]

从而

\[ P_1(\Delta t) = 1- P_0(\Delta t)- \psi(\Delta t) = \lambda \Delta t + o(\Delta t) \]

\[ \sum\limits_{l=2}^\infty P_{k-l}(t)P_l(\Delta t) \leqslant \sum\limits_{l=2}^\infty P_l(\Delta t) = \psi(\Delta t) = o(\Delta t) \]

故由先前全概率公式得到的结果有

\[ P_k(t+\Delta t) = P_k(t) (1- \lambda \Delta t)+ P_{k-1}(t)\cdot \lambda \Delta t+ o(\Delta t), k \geqslant 1 \]

化为差商：

\[ \dfrac{P_k(t+\Delta t)-P_k(t)}{\Delta t} = \lambda [P_{k-1}(t)-P_k(t)]+o(1) \]

令 \(\Delta t\to 0\) .

由于已知 \(P_0(t) = \mathrm{e}^{-\lambda t}\) ，可以解得

\[ P_k(t) = \dfrac{(\lambda t)^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda t} \]

这即为 Poisson 分布. \(\square\)

评论