胡适耕实变函数习题 —— 集合运算和集合分解

本章主要讨论胡适耕 $\S$ 1.1 集合论当中集合运算和集合分解的内容.

证明集合等式

方法论：证明集合等式

证明：$A=B$ 集合等式.

最直接的方法：证明 $A \subseteq B$ 和 $B \subseteq A$ .
相对简单的方法：直接利用集合运算.

其中的集合运算要注意：交并补才是集合运算最基本的操作，差、对称差都是可以通过这些运算表出的.

差集：$A - B = A\cap B^c$ .
对称差：$A \Delta B = (A-B)\cup (B-A) = (A\cup B)-(A\cap B)$ .

然后就是分配律和 De Morgan 律的应用. 这些相对比较简单，就不列举了.

胡适耕 1.5

证明：$B = [(A \Delta B)-A]\cup [A\cap B]$ .

\[ \begin{aligned} {[(A \Delta B) -A]} \cup [A\cap B] & = [(A \Delta B)\cap A^c] \cup [A\cap B] \\ & =[(A\cap B)\cup (A\Delta B)]\cap [A^c \cup (A\cap B)] \\ & = (A\cup B) \cap [(A^c \cup A)\cap (A^c \cup B)] \\ & = (A\cup B) \cap (A^c\cup B) \\ & = (A\cap A^c)\cup B = B \end{aligned} \]

其中反复使用了分配律. $\square$

对称差的运算性质：

$A \Delta \varnothing = A$ .
$A \Delta A = \varnothing$ .

因此对称差满足消去律.

集合分解式

这个部分是 NKU 实变函数没有强调的问题，仅在习题当中有一个例子. 表述如下：设 $f(x)$ 和 $f_n(x) (n \geqslant 1)$ 都是 $\mathbb{R}$ 上的实函数，求证：

\[ \left\lbrace x: \lim_{n\to \infty} f_n(x) = f(x) \right\rbrace = \bigcap_{r=1}^\infty \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty \left\lbrace x: |f_k(x) -f(x)|< \frac{1}{r} \right\rbrace \]

这个类型的问题实际上就是利用集合论的语言来表述我们常用的定义. 解决这类问题的方法在于：

利用数理逻辑语言表述抽象的性质；
对于最后的逻辑语句，$\forall$ 对应的运算为交集运算，$\exists$ 对应的运算为并集运算.

胡适耕 1.7

用集合 $A_{nk} \triangleq \left\lbrace f_n \geqslant k \right\rbrace,(n,k \in \mathbb{N})$ ，表出
$$ A \triangleq \left\lbrace f_n \to \infty \right\rbrace $$

$f_n \to \infty$ 可表示为

\[ \forall k > 0, \exists m \in \mathbb{N}, \forall n \geqslant m, f_n(x) \geqslant k \]

那么也就说明

\[ x\in A \iff x\in \bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{m=1}^\infty \bigcap_{n=m}^\infty \left\lbrace x: f_n(x) \geqslant k \right\rbrace \]

$\square$

需要说明的是，不可数的一些变量需要改动为可数的，才方便我们进行说明.

然后就是对于上下极限，尤其要注意逻辑语言的问题，例如

\[ \left\lbrace x\in X : f_n(x) \text{无界} \right\rbrace \]

实际上就是上极限是无穷，它和 $f_n(x)\to \infty$ 是不一样的.

NKU 实变函数习题1 T44

对
$$ \left\lbrace x:\varliminf_{k\to \infty} f_k(x)>0 \right\rbrace $$
作集合分解.

用逻辑语言表述有

\[ \exists n \geqslant 1, \exists m \geqslant 1, \forall k \geqslant m, f_k(x) \geqslant \frac{1}{n} \]

因此

\[ \left\lbrace x: \varliminf_{k \to \infty} f_k(x) > 0 \right\rbrace = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{m=1}^\infty \bigcap_{k=m}^\infty \left\lbrace x: f_k(x) \geqslant \frac{1}{n} \right\rbrace \]

$\square$

利用上下极限可以更好地表述极限本身的性质，这是因为上下极限总是存在的，而极限不是.

胡适耕 1.11

分解：
$$ A \triangleq \left\lbrace x\in X: \lim_{n} f_n(x) \text{ 不存在.} \right\rbrace $$

极限不存在等价于：当 $n \to \infty$ 时，$f_n(x)$ 在它的上下极限之间振荡.

因此可以表述为：

\[ \exists a,b\in \mathbb{Q} , \forall n \in \mathbb{N},\exists k,l \geqslant n, f_k(x) \leqslant a < b \leqslant f_l(x) \]

因此，

\[ A = \bigcup_{a,b\in \mathbb{Q},a<b} \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k,l \geqslant n} (\left\lbrace f_k \leqslant a \right\rbrace - \left\lbrace f_l \leqslant b \right\rbrace) \]

$\square$

发散、极限不存在的问题

在实变函数当中，由于引入了广义实数，此时极限不存在和发散就没有关系了.

胡适耕实变函数习题 —— 集合运算和集合分解

证明集合等式

集合分解式

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