胡适耕实变函数习题 —— 可数性问题

本文主要讨论胡适耕实变函数习题集中有关可数性判定的证明问题。

判定可数性

两个方法：

1. 取可数集 \(B\) 证明集合 \(A \subset B\) ，则 \(A\) 可数.
2. 分解 \(A\) 为可数个可数集之并或有限个可数集之积.

胡适耕 1.18

单增函数 \(f(x)\) 的间断点集 \(D\) 可数.

首先应该注意到：增函数的间断点 \(x\) 以其跳跃 \(f(x^+)-f(x)>0\) 为特征，于是每个 \(x\in D\) 唯一对应一个开区间 \(\delta_x = (f(x^-),f(x^+))\) .

且当 \(x,y\in D,x<y\) 时，有 \(f(x^+)\leqslant f(y^-)\) ，因此 \(\delta_x\cap \delta_y=\varnothing\) ，取定 \(r_x\in \mathbb{Q}\cap \delta_x\) ，则 \(D\to \mathbb{Q}\) 为单射，从而可数. \(\square\)

胡适耕 1.22

设 \(A \subset \mathbb{R}\) 的每一点都是孤立点，则 \(A\) 是可数集.

对 \(x\in A\) ，由于 \(x\) 为孤立点，存在 \(\delta_x\) 使得

\[ B(x,\delta_x)\cap A = \left\lbrace x \right\rbrace \]

因此考虑 \(r_x \in B(x,\delta_x)\cap \mathbb{Q}\) ，我们构建了 \(A\to \mathbb{Q},x\to r_x\) 的单射，故 \(A\) 是可数集. \(\square\)

根据本题可以证明：

胡适耕 1.23

设 \(A \subset \mathbb{R}\) ，\(A'\) 是可数集，则 \(A\) 是可数集.

由

\[ A \subset (A\setminus A')\cup A' \]

右侧分别是聚点和孤立点，孤立点集是可数集，\(A'\) 也是可数集，因此 \(A\) 至多可数. \(\square\)

与可数性有关的存在性证明

胡适耕 1.27

平面上存在不含有理点的圆周.

证明：若任何圆周都含有理点，则圆周

\[ S_r = \left\lbrace x\in \mathbb{R}^2: |x| = r \right\rbrace (r > 0) \]

上可以取出有理点 \(x_r\) ，当 \(0<r<s< \infty\) 时必 \(x_r\neq x_s\) ，因此

\[ \mathscr{A} = \left\lbrace S_r: r>0 \right\rbrace \]

与区间 \((0,\infty)\) 之间可以建立一一对应关系，但 \((0,+\infty)\) 是不可数的，这就出现了矛盾. \(\square\)

胡适耕 1.29

设 \(a,b\in \mathbb{R}^2\setminus \mathbb{Q}^2\) ，\(a\neq b\) ，则存在连接 \(a,b\) 且不包含有理点的折线.

作 \(ab\) 的中垂线 \(L\) ，考虑 \(\forall x\in L\) ，由 \(ax,xb\) 组成一折线 \(\Gamma_x\) ，只需证明必有某个 \(\Gamma_x\) 不包含有理点.

若每个 \(\Gamma_x\) 都含有理点 \(r_x\)，当 \(x,y\in L\) ，\(x\neq y\) 时，有 \(r_x\neq r_y\) ，因此得到单射 \(L\to \mathbb{Q}^2,x\to r_x\) ，这与 \(L\) 不可数矛盾. \(\square\)

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