数学物理方程 - 8.27 导论

课程信息

• 30% 的平时成绩与 70% 的期末成绩，注意 30% 的平时成绩中包含两次小测.

架构图

记号约定

下面的内容中，$x\in {\mathbb{R}}^n$ ，$x=(x_1,\cdots ,x_n)$ ，定义其模为

$$|x|=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

也就是说，之后不明确说明的情况下，$x$ 均视为 $n$ 元向量.

下面再定义重指标，它能简化后续微分方程的表示. 我们定义 $\alpha \in {\mathbb{N}}^n$ ，$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$ ，那么有

$$x^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\cdots x_n^{{\alpha }_n}$$

重指标的阶乘为

$$\alpha !={\alpha }_1!{\alpha }_2!\cdots {\alpha }_n!$$

对于微分算子，有

$$\frac{{\partial }^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}=\frac{{\partial }^{\alpha }}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\partial x_2^{{\alpha }_2}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}}$$

重坐标的模定义为

$$|\alpha |=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i$$

加法服从向量加法.

对于两个集合 $A,B$ ，若满足 $\overline{A}\subset \mathrm{int}(B)$ ，则记为 $A\subset \subset B$ .

广义函数

广义函数的由来

Heaviside 函数与 $\delta$ 函数

下面引入两个“函数”：第一个为 Heaviside 函数

$$H(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x<0.\end{array}$$

这个函数是一个比较普通的分段函数，但是它却和下面的 $\delta$ 函数密切相关，我们给出它在物理学家眼中的定义：

$$\delta (x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\ne 0\\ \infty ,& x=0\end{array},{\int }_{\mathbb{R}}\delta (x)\mathrm{d}x=1.$$

但是它的定义真的合理吗？我们发现它几乎处处为 $0$ ，但是在 Lebesgue 积分的意义下，它不可能为 $1$ （当然，物理学家并没有说这是 $L$ 积分）. 我们将在后续给出 $\delta$ 函数的严格定义. 在此之前，我们需要引入广义函数的概念.

广义函数的定义

定义：广义函数

我们称基本函数空间上的连续线性泛函为广义函数.

完了，在这里，我们似乎并没有学泛函分析，因此我们在后续再品味这个定义中“泛函”的意义，我们先好好说说基本函数空间的问题.

函数空间即为一类满足某些性质的函数全体，在 PDE 中常用的空间为：

• $C^{\infty }(\Omega )$ ：无限阶可导函数全体（光滑函数全体）；
• $C_0^{\infty }(\Omega )$ 或 $C_c^{\infty }(\Omega )$ ：具有紧支集的光滑函数全体；
• $S(\Omega )$ ：Schwartz 空间；

其中我们重点讲第二个空间.

$C_0^{\infty }(\Omega )$ 空间

支集与紧支集

定义：支集 (support)

使函数 $f$ 取值不为零的 $x$ 全体的闭包称为函数 $f$ 的支集，记为： $\mathrm{supp}(f):=\overline{\left\{x\in \Omega :f(x)\ne 0\right\}}$

需要注意的是：

• $\mathrm{supp}(f)$ 必为闭集；
• 若 $y\notin \mathrm{supp}(f),f(y)=0$ .

若函数 $f$ 的支集是紧集，则 $f$ 具有紧支集.

$C_0^{\infty }(\Omega )$ 空间中的收敛性

记 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 为具有紧支集的光滑函数全体，对于一个函数空间，我们需要其中具有收敛性，因此我们在 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 上赋予归纳极限拓扑，其收敛性如下.

定义： $C_0^{\infty }(\Omega )$ 空间中的收敛性

函数序列 $\left\{{\phi }_n(x)\right\}\subset C_0^{\infty }(\Omega )$ 在 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 空间中趋于 $0$ 即指：

1. 存在一个紧集 $K\subset \Omega$ 使得对一切 ${\phi }_n(x)$ ，都有 $\mathrm{supp}({\phi }_n)\subset K$.
2. ${\phi }_n(x)$ 的任意固定阶微商之序列皆对 $x$ 一致收敛于 $0$. （不要求对微商的阶数有一致性），即固定 $\alpha \in {\mathbb{N}}^n$ ，有 ${\partial }_x^{\alpha }{\phi }_n(x)\rightrightarrows 0.$

注意：

• 第一条保证了：在 $K$ 之外，恒有 ${\phi }_n(x)=0,x\notin K$ .
• 上述的一致收敛性在 $K$ 上成立.

$C_0^{\infty }(\Omega )$ 空间的总结

我们来总结一下刚刚这一节干了什么，首先我们定义了一个空间为 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 空间，满足：

• 包含：$\Omega$ 上的具有紧支集的光滑函数全体；
• 性质：（一致）收敛性.

接下来我们要讨论为什么要定义一个这样的空间，$f\in C_0^{\infty }(\Omega )$ 具有什么样的优良性质呢？$f$ 具有有界闭的支集，且还是光滑函数. 考虑 $\Omega$ 和 $\mathrm{supp}(f)$ 的关系有 $\mathrm{supp}(f)\subset \subset \Omega$ . 因此有

$$f{|}_{\partial \Omega }=0$$

这个条件可以很好地应用在分部积分公式当中.

记号问题

有的教材当中也将 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 记为 $\mathcal{D}(\Omega )$ ，例如陈祖墀的《偏微分方程》. 两者的区别在于，$\mathcal{D}(\Omega )$ 专指赋予了上述收敛性的 $C_0^{\infty }$ 空间，为防止混淆，我们在第一周的课上只使用 $C_0^{\infty }$.

由此，之前说明的收敛性也可强调为：“在 $\mathcal{D}$ 中趋于 $0$” .

磨光函数

在刚才定义了 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 空间后，我们自然就会有两个问题：

• 是否存在 $f\in C_0^{\infty }(\Omega )$ ？
• 如何构造出这样的 $f$ ？

首先第一个问题是比较简单的，给出这样的函数有

$$j_1(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{|x{|}^2-1}},& |x|<1\\ 0,& |x|⩾1.\end{array}$$

第二个问题就是我们过会要讲到的磨光操作.

磨光核及其性质

磨光函数的操作实际上是这样一个过程：给定 $f\in C_0({\mathbb{R}}^n)$ ，即具有紧支集的连续函数，则磨光操作将构造出 $C_0^{\infty }$ 函数. “磨光”即将函数磨成光滑函数，从而得到我们想要的性质.

在此之前，我们需要一个辅助函数，它称为磨光核，我们不妨取一个这样的函数：

$$g(x)\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n),\mathrm{supp}(g)\subseteq \overline{B_1(0)}$$

且它还要满足 ${\mathbb{R}}^n$ 上可积且积分为

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}g(x)\mathrm{d}x=c\ne 0$$

事实上，刚才的 $j_1(x)$ 就满足这些性质，它被称为标准磨光子. 我们可以定义如下的磨光核：

定义：磨光核

我们令 ${\Phi }_{\epsilon }(x)=\frac{1}{c{\epsilon }^n}g\left(\frac{x}{\epsilon }\right),c={\int }_{{\mathbb{R}}^n}g(x)\mathrm{d}x\ne 0$ 称 ${\Phi }_{\epsilon }(x)$ 为磨光核.

注意，这里我们并没有给出其具体表达式，但是在后续我们将一直使用 ${\Phi }_{\epsilon }(x)$ ，所以要对其性质熟记.

我们来看磨光核的性质，首先有

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\Phi }_{\epsilon }(x)\mathrm{d}x& =\frac{1}{c{\epsilon }^n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}g\left(\frac{x}{\epsilon }\right)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{c{\epsilon }^n}{\epsilon }^n{\int }_{{\mathbb{R}}^n}g\left(\frac{x}{\epsilon }\right)\mathrm{d}\left(\frac{x}{\epsilon }\right)=1\end{array}$$

即磨光核的积分为 $1$ . 其中注意在代换的时候的 Jacobi 行列式值即为 ${\epsilon }^n$ .

例如，我们对 $j_1(x)$ 可得磨光核

$$J_{\epsilon }(x)=\frac{1}{c{\epsilon }^n}{j}_1\left(\frac{x}{\epsilon }\right)$$

此外，${\Phi }_{\epsilon }(x)\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 成立，首先其支集显然满足 $\mathrm{supp}({\Phi }_{\epsilon })\subseteq \overline{B_{\epsilon }(0)}$ ，故其具有紧支集，同时对其做微分有

$${\partial }_x^{\alpha }{\Phi }_{\epsilon }(x)=\frac{1}{c{\epsilon }^n}{\partial }_x^{\alpha }g\left(\frac{x}{\epsilon }\right)$$

故无穷次可微. 因此我们总结磨光核的性质有

• 磨光核在全空间上的积分为 $1$ .
• 磨光核是具有紧支集的光滑函数.

磨光操作

接下来，我们给出磨光操作的一个展示：

磨光操作

设 $f(x)\in C_0({\mathbb{R}}^n)$ ，可令 $f_{\epsilon }(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y){\Phi }_{\epsilon }(x-y)\mathrm{d}y.$ 从而 $f_{\epsilon }(x)$ 就是我们需要的结果函数，即 $f_{\epsilon }(x)\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ ，且在 $\epsilon \to 0$ 时一致收敛于 $f$.

其证明与说明在下节课当中.

作业

本堂课无作业.