数学物理方程 - 9.3 单位分解 && 微分算子的计算

广义函数回顾与术语说明

在泛函分析中，本周已说明了泛函的具体含义，因此我们可以再回顾一下广义函数以及泛函的定义：

定义：广义函数

我们称基本函数空间上的连续线性泛函为广义函数.

定义：泛函 (functional)

由函数组成的向量空间到其标量域 ($\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$) 的映射称为泛函.

在这里我们区分一下 PDE 当中使用的术语：（注意仅在 PDE 当中有如下的特指），记 $\mathcal{F}$ 为函数组成的向量空间（函数空间）.

• 函数：一般表示为 $f(x)$ ，且 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ .
• 泛函：一般表示为 $f(\phi )$ ，且 $f:\mathcal{F}\to \mathbb{R}$ .
• 算子：一般表示为 $P$ ，且 $P:\mathcal{F}\to \mathcal{F}$ .

也就是说，上述的几个术语仅仅只是“映射”的特化说法，它们就是定义域和值域不同的映射而已，但是这种具体的说法有利于我们进行问题讨论.

基本函数空间我们也已经阐明，在 PDE 当中最常用的基本函数空间为 $C_0^{\infty }(\Omega )$ ，也记为 $\mathcal{D}(\Omega )$ ，赋予了归纳极限拓扑后具有收敛性，这种（一致）收敛性我们称“在 $\mathcal{D}$ 中趋于 $0$” （一致收敛于 $0$ 时） .

单位分解 (Partition of Unity)

定理：单位分解

对 $A$ 的任意开覆盖 $\mathcal{O}$ ，必存在 $C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 函数族 $\Phi =\left\{{\phi }_{\alpha }(x)\right\}$ 使得

1. $0⩽{\phi }_{\alpha }(x)⩽1$.
2. $\left\{\mathrm{supp}({\phi }_{\alpha })\right\}$ 局部有限：即对任意一点 $x\in A$，均有邻域 $V$ 使得只有有限多个 ${\phi }_{\alpha }(x)$ 在 $V$ 上不为 $0$.
3. $\sum _{\alpha }{\phi }_{\alpha }(x)=1$.
4. $\forall \alpha \in I,\exists U_{\alpha }\in \mathcal{O}$ ，使得 $\mathrm{supp}({\phi }_{\alpha })\subseteq U_{\alpha }$.

并称：$\Phi$ 为从属于 $\mathcal{O}$ 的单位分解.