数学物理方程 11.28 - 波动方程的导出、波动方程基本解

接下来我们要研究的方程是波动方程，它是双曲型方程：

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}(x,t)-a^2\Delta u(x,t)=f(x,t)$$

其中 $\Delta$ 为 $x$ 的 Laplace 算子. 一维情形下我们称其为弦振动方程：

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}(x,t)-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t)$$

$n+1$ 阶波动算子记为 ${\square }_{n+1}$ ，其中 $n+1$ 表示 $1$ 维时间，$n$ 维空间，弦振动方程由此可记为

$${\square }_{2}u(x,t)=f(x,t)$$

波动方程的导出

这个部分不是我们所关心的问题，只需要知道的是，通过对一维弦振动的力学分析（冲量、动量定理），可以导出一维的弦振动方程：

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}(x,t)-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t)$$

分析时基于假设：细绳在振动时没有伸长，且仅在垂直方向振动.

导出的方法详见谷超豪《数学物理方程》.

波动方程基本解

基本解的求解

Fourier 变换

波动方程基本解就是在研究如下算子的基本解：

$${\square }_{n+1}E=\delta (x,t)$$

和热传导方程类似，我们对 $x$ 作 Fourier 变换有：

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\tilde{E}}{\mathrm{d}{t}^2}+a^2|\xi {|}^2\tilde{E}=\delta (t)\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

我们可得两个线性无关解 ${\tilde{E}}_1=\sin a|\xi |t$ 以及 ${\tilde{E}}_2=\cos a|\xi |t$ ，由常数变易法，令

$$\tilde{E}(\xi ,t)=C_1(\xi ,t)\sin a|\xi |t+C_2(\xi ,t)\cos a|\xi |t\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

我们将上述的待定系数式代入原方程 $(2.1)$ ，我们可以得到（用 ${}^{\prime }$ 表示对 $t$ 的导数）

$$\frac{\partial \hat{E}(\xi ,t)}{\partial t}=C_1^{\prime }\sin (a|\xi |t)+C_1(a|\xi |)\cos (a|\xi |t)+C_2^{\prime }\cos (a|\xi |t)+C_2(-a|\xi |)\sin (a|\xi |t)$$

令 $C_1^{\prime }\sin (a|\xi |t)+C_2^{\prime }\cos (a|\xi |t)=0$ ，并先让这个为 $0$ ，之后考虑构造线性方程组.

于是

$$\frac{\partial \hat{E}(\xi ,t)}{\partial t}=C_1(a|\xi |)\cos (a|\xi |t)+C_2(-a|\xi |)\sin (a|\xi |t)$$

再对 $t$ 求导有

$$\frac{{\partial }^2\hat{E}(\xi ,t)}{\partial t^2}=C_1^{\prime }(a|\xi |)\cos (a|\xi |t)+C_1(a|\xi |{)}^2(-1)\sin (a|\xi |t)+C_2^{\prime }(-1)(a|\xi |)\sin (a|\xi |t)+C_2(-1)(a|\xi |{)}^2\cos (a|\xi |t)$$

代回原方程有

$$C_1^{\prime }(a|\xi |)\cos (a|\xi |t)+C_2^{\prime }(-1)(a|\xi |)\sin (a|\xi |t)=\delta (t)$$

故现在有

$$\{\begin{array}{l}{C}_1^{\prime }\sin (a|\xi |t)+C_2^{\prime }\cos (a|\xi |t)=0\\ C_1^{\prime }(a|\xi |)\cos (a|\xi |t)+C_2^{\prime }(-1)(a|\xi |)\sin (a|\xi |t)=\delta (t)\end{array}$$

从这个线性方程组中可以解出 $C_1^{\prime },C_2^{\prime }$ ：先解出 $C_2^{\prime }$ 有

$$C_2^{\prime }(a|\xi |)({\cos }^2(a|\xi |t)+{\sin }^2(a|\xi |t))=\delta (t)\sin (a|\xi |t)$$

当 $t\ne 0$ 时，有 $C_2^{\prime }(a|\xi |)=0$ ，当 $t=0$ 时，有 $C_2^{\prime }(a|\xi |)=\delta (0)\cdot 0=0$ ，因此 $C_2^{\prime }=0$ . $C_2$ 用最简形式即可得 $C_2=0$ .

求解 $C_1^{\prime }$ 即有

$$C_1^{\prime }(a|\xi |)=\delta (t)$$

于是

$$C_1(\xi ,t)=\{\begin{array}{l}\frac{H(t)}{a|\xi |},t>0\\ \frac{-H(-t)}{a|\xi |},t<0\end{array}$$

代回到 $(2.2)$ 即有

$$\hat{E}(\xi ,t)=\{\begin{array}{l}{\hat{E}}_{+}(\xi ,t)=\frac{H(t)}{a|\xi |}\sin (a|\xi |t),t>0\\ {\hat{E}}_{-}(\xi ,t)=\frac{-H(-t)}{a|\xi |}\sin (a|\xi |t),t<0\end{array}$$

Fourier 逆变换

已求出 $\hat{E}(\xi ,t)$ ，下面求解 $E(x,t)$ ，这里给出两个方法：

---

方法一

先证明一个引理，$\mathcal{F}(\delta (r-|x|))(\xi )=\frac{4\pi r}{|\xi |}\sin (r|\xi |)$ ，再求解 $E(x,t)$ ，首先要给出这里的广义函数及其 Fourier 变换的定义.

定义： $\delta (p(x))\in {\mathcal{D}}^{\prime }$

设曲面$S=\left\{x\mid p(x)=0,\mathrm{d}p(x)\ne 0,p\in C^{\infty }\right\}$ 对任意 $\phi \in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ ，有 $⟨\delta (p(x)),\phi (x)⟩:={\int }_{p(x)=0}\phi (x)\mathrm{d}S$ 从而 $\mathrm{singsupp}\delta (p(x))=\mathrm{supp}(\delta (p(x)))=\left\{x\mid p(x)=0\right\}$ .

下面给出其 Fourier 变换的定义：若曲面是紧集，则 $\delta (p(x))\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)\subseteq {\mathcal{D}}^{\prime }$ . 从而

$$\widehat{\delta (p(x))}=⟨\delta (p(x)),{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\xi }⟩={\int }_{p(x)=0}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\xi }\mathrm{d}{S}_x$$

以 $n=3$ 为例，设 $p(x)=r-|x|$ ，计算 $\mathcal{F}(\delta (x))(\xi )$ ，此时根据 $S$ 的定义有

$$S=\left\{x\mid |x|=r\right\}$$

为以 $0$ 为心，$r$ 为半径的球面，利用球坐标，让 $x_3$ 经过 $\xi$ 点，此时 $x\cdot \xi =|x||\xi |\cos \theta$ . 于是

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}(\delta (r-|x|))(\xi )& ={\int }_{|x|=r}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\xi }\mathrm{d}{S}_x\\ & ={\int }_{|x|=r}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}|x||\xi |\cos \theta }\mathrm{d}{S}_x\\ & ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}r|\xi |\cos \theta }{r}^2\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \\ & ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\phi {\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}r|\xi |\cos \theta }{r}^2\sin \theta \mathrm{d}\theta \\ & =-2\pi r^2{\int }_1^{-1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}r|\xi |y}\mathrm{d}y\\ & =\frac{2\pi r^2}{r|\xi |}{\int }_{-1}^1{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}r|\xi |y}\mathrm{d}(r|\xi |y)\end{array}$$

利用 Euler 公式，可以得到

$$=\frac{2\pi r}{|\xi |}{\int }_{-1}^1\cos (r|\xi |y)-\mathrm{i}\sin (r|\xi |y)\mathrm{d}(r|\xi |y)$$

进行定积分运算有

$$=\frac{4\pi r}{|\xi |}\sin (r|\xi |)$$

于是 $\mathcal{F}(\delta (r-|x|))(\xi )=\frac{4\pi r}{|\xi |}\sin (r|\xi |)$ ，下面利用这个结论求解 $E(x,t)$ . 当 $t>0$ 时，令 $r=at,a>0$ ，先代入 ${\hat{E}}_{+}(\xi ,t)$ ，并配凑系数有

$${\hat{E}}_{+}(\xi ,t)=H(t)\frac{4\pi at}{|\xi |}\sin (a|\xi |t)\frac{1}{4\pi a^{2}t}=H(t)\frac{1}{4\pi a^{2}t}\mathcal{F}(\delta (r-|x|))(\xi )$$

同时作 Fourier 逆变换可得

$$E_{+}(x,t)=H(t)\frac{1}{4\pi a^{2}t}\delta (at-|x|)$$

当 $t<0$ 时，令 $r=-at$ 即有

$$E_{-}(x,t)=\frac{(-1)H(-t)}{4\pi a^{2}t}\delta (at+|x|)$$

注意：

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{supp}(E_{+})=\left\{x\mid |x|=at\right\}\\ \mathrm{supp}(E_{-})=\left\{x\mid |x|=-at\right\}\end{array}$$

这两个都属于锥面（以 $t$ 为纵坐标绘图可知）

综上我们便得到了波动方程的基本解.