数学物理方程 - 10.10 缓增广义函数、广义函数的 Fourier 变换

函数作用的 Fourier 变换

定理：函数作用的 Fourier 变换

考虑如下的函数作用： $⟨\hat{f},g⟩=⟨f,\hat{g}⟩,f,g\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$

首先注意函数作用的表达式：

$$⟨f,g⟩=\int f(x)g(x)\mathrm{d}x$$

故从左到右利用 Fubini 定理有

$$\begin{array}{rl}⟨\hat{f},g⟩& =\int \left(\int f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\xi }\mathrm{d}x\right)g(\xi )\mathrm{d}\xi \\ & =\int g(\xi )\mathrm{d}\xi \int f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\xi }\mathrm{d}x\\ & \stackrel{\text{(Fubini)}}{=}\int f(x)\mathrm{d}x\int g(\xi ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\xi }\mathrm{d}\xi \\ & =\int f(x)\hat{g}(x)\mathrm{d}x\\ & =⟨f,\hat{g}⟩\end{array}$$

故结论成立. $\square$

线性偏微分算子的 Fourier 变换

我们记一般的线性偏微分算子为如下的形式：

$$P=\sum _{|\alpha |⩽m}{a}_{\alpha }(x)D_x^{\alpha },a_{\alpha }(x)\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$$

它的象征可以记为

$$\sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |⩽m}{a}_{\alpha }(x){\xi }^{\alpha }$$

那么两者有如下所示的关系：

定理：算子与象征在 Fourier 变换上的关系

$P={\mathcal{F}}^{-1}\sigma (\xi )\mathcal{F}$

这个定理的意思是：对于任意 $u\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ ，都有

$$Pu={\mathcal{F}}^{-1}\sigma (\xi )\mathcal{F}u$$

这里我们可以知道两侧都是关于 $x$ 的函数，Fourier 变换将右侧先变为 $\xi$ 的函数再变为 $x$ 的函数.

我们从右侧开始：

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}^{-1}\sigma (\xi )\mathcal{F}u& ={\mathcal{F}}^{-1}\sigma (\xi )\int u(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\xi }\mathrm{d}\xi \\ & =\sum _{|\alpha |⩽m}{\mathcal{F}}^{-1}{a}_{\alpha }(x){\xi }^{\alpha }\hat{u}(\xi )\\ & =\sum _{|\alpha |⩽m}{a}_{\alpha }(x){\mathcal{F}}^{-1}({\xi }^{\alpha }\hat{u}(\xi ))\\ & =\sum _{|\alpha |⩽m}{a}_{\alpha }(x)D_x^{\alpha }u=Pu\end{array}$$

从而结果成立. $\square$

缓增广义函数空间

缓增广义函数及其连续性

定义：缓增广义函数空间

$\mathcal{S}$ 上的连续线性泛函称为缓增广义函数，其全体记为 ${\mathcal{S}}^{\prime }$.

“缓增”是相对于“急减”说的，它可以看作一个对偶的名称，同样地，定义了这样一个广义函数空间之后我们需要讨论其连续性.

定义： ${\mathcal{S}}^{\prime }$ 的连续性

当 $\left\{{\phi }_j\right\}\subset \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ ，$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 上有 ${\phi }_j\to 0$ ，若 $⟨f,{\phi }_j⟩\to 0,j\to \infty$ 则称 $f\in {\mathcal{S}}^{\prime }$ 是连续的.

同样，与 ${\mathcal{D}}^{\prime }$ 相似的是连续性同样有等价定义：设 $f\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ ，$\forall \phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ ，存在 $k,m$ 和与 $k,m$ 相关的常数 $c_{km}$ 使得

$$|⟨f,\phi ⟩|⩽c_{km}\sum _{|\alpha |⩽k,|\beta |⩽m}\underset{{\mathbb{R}}^n}{\sup }|x^{\alpha }{D}^{\beta }\phi |$$

特殊的缓增广义函数

接下来介绍一种特别而典型的缓增广义函数，以下的证明过程务必记下来，因为往年魏雅薇老师曾小测过.

定理： $p$ 次 Lebesgue 可积函数

若 $f\in L^p({\mathbb{R}}^n)$ ，则 $f\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n),1⩽p<\infty$ .

我们定义其作用方式为：取 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 有

$$⟨f,\phi ⟩=\int f(x)\phi (x)\mathrm{d}x$$

首先说明其良定义，由于 $f\in L^p$ ，且 $\phi (x)\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ ，因此为可积函数相乘，从而上述定义是合理的.

接下来证明其为连续线性泛函，线性性由 Lebesgue 积分的线性运算可知成立，连续性则考虑等价定义，我们从 Hölder 不等式入手：

$$\int |f(x)||\phi (x)|\mathrm{d}x⩽\Vert f{\Vert }_p\Vert \phi {\Vert }_q$$

其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，$\phi$ 的 $q$ 次可积性是非常显然的.

由于 $f\in L^p$ ，从而只需对上述 $\Vert \phi {\Vert }_q$ 进行估计：

$$\begin{array}{rl}\Vert \phi {\Vert }_q& ={\left(\int {\phi }^q(x)\mathrm{d}x\right)}^{\frac{1}{q}}\\ & ={\left(\int {\left(1+|x{|}^2\right)}^{-\frac{n+1}{2}}[(1+|x{|}^2{)}^{\frac{n+1}{2q}}\phi (x){]}^q\mathrm{d}x\right)}^{\frac{1}{q}}\\ & ⩽\underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }\left|(1+|x{|}^2{)}^{\frac{n+1}{2}}\phi (x)\right|\int (1+|x|{)}^{-\frac{n+1}{2}}\mathrm{d}x\end{array}$$

根据连续性的等价定义，$f$ 是连续线性泛函，故 $f\in {\mathcal{S}}^{\prime }$ . $\square$

缓增函数与乘子

定义：缓增 $C^{\infty }$ 函数

令 $a(x)\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ ，对任意 $\alpha \in {\mathbb{N}}^n$ ，存在 $C_{\alpha }>0$ ，及 $N_{\alpha }$ 使得 $|D_x^{\alpha }a(x)|⩽C_{\alpha }(1+|x{|}^2{)}^{N_{\alpha }}$

这种类型的函数实际上就是比一般的多项式函数增长要慢. 多项式函数本身实际上就是缓增的 $C^{\infty }$ 函数，引入这种类型的函数是为了方便我们进行乘子运算，如同 ${\mathcal{D}}^{\prime }$ 空间的乘子一样.

同样有如下的命题：

命题

缓增 $C^{\infty }$ 函数 $a(x)$ 必为 ${\mathcal{S}}^{\prime }$ 广义函数.

仍考虑 $L^p$ 函数相同的作用方式：

$$\begin{array}{rl}|⟨f(x),\phi (x)⟩|& =\left|\int a(x)\phi (x)\mathrm{d}x\right|\\ & ⩽\int |a(x)\phi (x)|\mathrm{d}x\\ & ⩽\int |c_0(1+|x{|}^2{)}^{N_0}\phi (x)|\mathrm{d}x\\ & ⩽c_0\int (1+|x{|}^2{)}^{-\frac{n+1}{2}}\left|(1+|x{|}^2{)}^{\frac{n+1}{2}+N_0}\phi (x)\right|\mathrm{d}x\\ & ⩽c_0\int (1+|x{|}^2{)}^{-\frac{n+1}{2}}\mathrm{d}x\underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }\left|(1+|x{|}^2{)}^{\frac{n+1}{2}+N_0}\phi (x)\right|\end{array}$$

根据连续性的等价定义可知 $a$ 仍为连续线性泛函. $\square$

从而我们可定义缓增 $C^{\infty }$ 函数的乘子运算：

定义： ${\mathcal{S}}^{\prime }$ 乘子

我们可定义 $⟨a(x)f(x),\phi (x)⟩:=⟨f(x),a(x)\phi (x)⟩$ 其中 $a\in C^{\infty }$ 为缓增函数，$f\in {\mathcal{S}}^{\prime }$ 且 $\phi \in \mathcal{S}$.

缓增广义函数的 Fourier 变换

${\mathcal{S}}^{\prime }$ 广义函数 Fourier 变换

定义：缓增广义函数的 Fourier 变换

设 $f\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ ，对任意 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ ，定义其 Fourier 变换为 $⟨\hat{f},\phi ⟩:=⟨f,\hat{\phi }⟩$ 逆变换类似有 $⟨{\mathcal{F}}^{-1}f,\phi ⟩=⟨f,{\mathcal{F}}^{-1}\phi ⟩$

这里的定义方法来源于函数作用的 Fourier 变换性质，这里的定义保证了广义函数和函数运算某种程度的统一.

广义函数 Fourier 变换性质

定理：Fourier 变换性质

设 $f\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ ，则有 $\widehat{D^{\alpha }f}(\xi )={\xi }^{\alpha }\hat{f}(\xi ),\widehat{x^{\alpha }f}(\xi )=(-D{)}^{\alpha }\hat{f}(\xi )$

这里的性质和 $\mathcal{S}$ 上的 Fourier 变换性质是一样的，在这里我们同样可以利用 $\mathcal{S}$ 上的 Fourier 变换.

$$\begin{array}{rl}⟨\widehat{D^{\alpha }f},\phi ⟩& =⟨D^{\alpha }f,\hat{\phi }⟩\\ & =(-1{)}^{|\alpha |}⟨f,D^{\alpha }\hat{\phi }⟩\\ & =(-1{)}^{|\alpha |}(-1{)}^{|\alpha |}⟨f,\widehat{{\xi }^{\alpha }\phi }⟩\\ & =⟨\hat{f},{\xi }^{\alpha }\phi ⟩\\ & =⟨{\xi }^{\alpha }\hat{f},\phi ⟩\end{array}$$

因此第一个性质成立，第二个结论类似可得. $\square$

卷积与 Fourier 变换

以下的定理非常重要，证明也相对较难，建议背下来其中的一些关键步骤.

定理：卷积的 Fourier 变换

设 $f\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n),g\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ ，则 $f\ast g\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ ，且 $\widehat{f\ast g}=\hat{f}\cdot \hat{g}$

各广义函数空间之间的关系

定理：广义函数空间的关系

对基本函数空间，有 $C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)\subset \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\subset C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 其对应的广义函数空间有 ${\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)\subset {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)\subset {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$

这个相对比较简单好理解，${\mathcal{D}}^{\prime }$ 中的泛函定义域 $\mathcal{D}$ ，比较小，定义域小的泛函自然要更多.