数学物理方程 - 第八次作业

T1

利用课堂上的方法计算 $E_{-}(x,t)={\mathcal{F}}^{-1}{\hat{E}}_{-}(\xi ,t)=\frac{(-1)H(-t)}{4\pi a^{2}t}\delta (at+|x|)$

仅考虑 $n=3$ ，当 $n>3$ 时仅需将 Jacobi 行列式进行更换即可.

首先

$$E_{-}(x,t)={\mathcal{F}}^{-1}{\hat{E}}_{-}(\xi ,t)=-(2\pi {)}^{-3}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{\sin (a|\xi |t)}{a|\xi |}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\xi }\mathrm{d}\xi$$

其中有 $x\xi =|x|\cdot |\xi |\cos \theta$ ，$\xi$ 分 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 三个轴，令 ${\xi }_3$ 轴过 $x$ 点，记 $|\xi |=\rho$ ，利用球坐标代换于是有

$$E_{-}(x,t)=-(2\pi {)}^{-3}{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (a\rho t)}{a\rho }{\rho }^2\mathrm{d}\rho {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\phi {\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}|x|\rho \cos \theta }\mathrm{d}\theta$$

记 $y=\cos \theta$ 有

$$\begin{array}{rl}& -(2\pi {)}^{-3}{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (a\rho t)}{a\rho }{\rho }^2\mathrm{d}\rho {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\phi {\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}|x|\rho \cos \theta }\mathrm{d}\theta \\ & =(2\pi {)}^{-3}\frac{2\pi }{a}{\int }_0^{+\infty }\sin (a\rho t)\rho \mathrm{d}\rho {\int }_{-1}^1\cos (|x|\rho y)+\mathrm{i}\sin (|x|\rho y)\mathrm{d}y\end{array}$$

从虚部为奇函数可得

$$\begin{array}{rl}& =\frac{(2\pi {)}^{-2}}{a|x|}{\int }_0^{+\infty }2\sin (a\rho t)\sin (|x|\rho )\mathrm{d}\rho \\ & =\frac{1}{4{\pi }^{2}a|x|}{\int }_0^{+\infty }\left(\cos [(|x|-at)\rho ]-\cos [(|x|+at)\rho ]\right)\mathrm{d}\rho \\ & =\frac{1}{4{\pi }^{2}a|x|}\underset{A\to +\infty }{\lim }\left\{\frac{\sin [A(|x|-at)]}{|x|-at}-\frac{\sin [A(|x|+at)]}{|x|+at}\right\}\end{array}$$

根据教材 33 页例 3 可得

$$\begin{array}{rl}& =\frac{1}{4\pi a|x|}[\delta (|x|-at)-\delta (|x|+at)]\\ & =-\frac{H(-t)}{4\pi a|x|}\delta (|x|+at),t<0\end{array}$$

根据 $\mathrm{supp}(\delta )=\left\{|x|=at\right\}$ ，可得

$$E_{-}(x,t)=-\frac{H(-t)}{4\pi a^{2}t}\delta (at+|x|),t<0$$

$\square$