数学物理方程 - 第二次作业

习题 3.1 T3

若 $f\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n),g\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ ，证明： $(f,g)\to f\ast g$ 是双线性映射，而且对 $f$ 和 $g$ 分别是连续的.

设题中映射为 $T$ ，对于双线性映射，根据

$$(f\ast g)(x)=⟨f(y),g(x-y)⟩$$

利用泛函的线性性即可说明第二个分量的运算是线性的，利用广义函数的线性运算即可说明第一个分量的运算是线性的，因此 $T$ 是双线性映射.

下证分别对 $f$ 和 $g$ 连续，取 $\left\{f_j\right\}\subset {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ ，且 $f_j\to f$ ，那么根据广义函数的极限运算，对任意 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$ 即有

$$\underset{j\to \infty }{\lim }⟨f_j(y),\phi (y)⟩=⟨f(y),\phi (y)⟩$$

固定一个 $x$ ，令 $\phi (y)=g(x-y)$ ，有

$$\underset{j\to \infty }{\lim }(f_j\ast g)(x)=\underset{j\to \infty }{\lim }⟨f_j(y),g(x-y)⟩=⟨f(y),g(x-y)⟩=(f\ast g)(x)$$

于是 $f_j\ast g$ 逐点收敛到 $f\ast g$ ，因此 $T$ 对 $f$ 是连续的.

取 $\left\{g_j\right\}\subset \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ ，且在 $\mathcal{D}$ 中 $g_j\to g$ ，由于 $f$ 是连续线性泛函，因此

$$\underset{j\to \infty }{\lim }⟨f(y),g_j(x-y)⟩=⟨f(y),g(x-y)⟩$$

于是 $T$ 对 $g$ 是连续的. $\square$

习题 3.1 T4

设 $f\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ ，$g$ 是一个 $m$ 次多项式，证明 $f\ast g$ 也是一个 $m$ 次多项式. $f\ast 1$ 等于什么？

根据泛函的线性性，只需考虑对 $g(x)=x^m$ 证明 $f\ast g$ 为一个 $m$ 次多项式即可，而

$$\begin{array}{rl}(f\ast g)(x)& =⟨f(y),(x-y{)}^m⟩\\ & =⟨f(y),\sum _{i=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i}\right)x^i(-y{)}^{m-i}⟩\\ & =\sum _{i=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i}\right)x^i⟨f(y),(-y{)}^{m-i}⟩\\ & =\sum _{i=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i}\right){\alpha }_i{x}^i\end{array}$$

其中 ${\alpha }_i=⟨f(y),(-y{)}^{m-i}⟩$ ，因此 $f\ast g$ 为 $m$ 次多项式. 由于 $1$ 是零次多项式，因此 $f\ast 1$ 也是零次多项式，也即为常数. $\square$