数学物理方程 - 第三次作业

习题 4.1 T1

证明：${\mathrm{e}}^{-x^2}\in \mathcal{S}$ .

即证明对任意自然数 $\alpha ,\beta$ 均有

$$\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }\left|x^{\alpha }\frac{{\mathrm{d}}^{\beta }}{\mathrm{d}{x}^{\beta }}{\mathrm{e}}^{-x^2}\right|⩽c(\alpha ,\beta )$$

其中 $c(\alpha ,\beta )$ 表示 $\alpha ,\beta$ 相关的常数. 对 ${\mathrm{e}}^{-x^2}$ 求导归纳有

$$\frac{{\mathrm{d}}^{\beta }}{\mathrm{d}{x}^{\beta }}{\mathrm{e}}^{-x^2}=P_{\beta }(x){\mathrm{e}}^{-x^2}$$

$P_{\beta }(x)$ 为 $\beta$ 次 $x$ 多项式，从而 $\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|P_{\beta }(x)|⩽\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|x^{\beta +1}|$ 故

$$\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }\left|x^{\alpha }\frac{{\mathrm{d}}^{\beta }}{\mathrm{d}{x}^{\beta }}{\mathrm{e}}^{-x^2}\right|⩽\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|x^{\alpha +\beta +1}{\mathrm{e}}^{-x^2}|$$

而 ${\mathrm{e}}^{-x^2}=o(x^{\alpha +\beta +1})$ ，因此在 $\mathbb{R}$ 上右侧有界，上界可记为 $c(\alpha ,\beta )$ ，于是 ${\mathrm{e}}^{-x^2}\in \mathcal{S}$ . $\square$

习题 4.1 T3

设 $P(\xi ),Q(\xi )$ 皆为常系数多项式，证明以下各个命题等价：

(1) $\phi (x)\in \mathcal{S}$ ；

(2) 对任意 $P(\xi ),Q(\xi ),P(x)Q(D)\phi \in \mathcal{S}$ ；

(3) 对任意 $P(\xi ),Q(\xi ),Q(D)[P(x)\phi (x)]\in \mathcal{S}$ .

以下均设

$$P(\xi )=\sum _{i=0}^m{a}_i{\xi }^i,Q(\xi )=\sum _{j=0}^n{b}_j{\xi }^j$$

(1) $\Rightarrow$ (2)

$$P(x)Q(D)\phi (x)=\sum _{i=0}^m{a}_i{x}^i\left[\sum _{j=0}^n{b}_j\frac{{\mathrm{d}}^j}{\mathrm{d}{x}^j}\phi (x)\right]=\sum _{i=0}^m\sum _{j=0}^n{a}_i{b}_j{x}^i\frac{{\mathrm{d}}^j}{\mathrm{d}{x}^j}\phi (x)$$

从而由 $\phi (x)\in \mathcal{S}$ 有

$$\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|P(x)Q(D)\phi (x)|⩽\sum _{i=0}^m\sum _{j=0}^n{a}_i{b}_j\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|x^i{\phi }^{(j)}(x)|⩽\sum _{i=0}^m\sum _{j=0}^n{a}_i{b}_{j}c(i,j)$$

其中 $c(i,j)$ 为关于 $i,j$ 的有限常数.

(2) $\Rightarrow$ (3)

根据 Leibniz 求导法则，可以得到

$$\begin{array}{rl}Q(D)[P(x)\phi (x)]& =\sum _{j=0}^n{b}_j\frac{{\mathrm{d}}^j}{\mathrm{d}{x}^j}\left[\sum _{i=0}^m{a}_i{x}^i\phi (x)\right]\\ & =\sum _{j=0}^n{b}_j\left[\sum _{i=0}^m{a}_i\sum _{k=0}^j\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k}\right){\phi }^{(k)}(x)(x^i{)}^{(j-k)}\right]\\ & =\sum _{j=0}^n\sum _{i=0}^m\sum _{k=0}^j\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k}\right)a_i{b}_j(x^i{)}^{(j-k)}{\phi }^{(k)}(x)\end{array}$$

对于每个单项根据 (2) 可知

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k}\right)a_i{b}_j(x^i{)}^{(j-k)}{\phi }^{(k)}(x)\in \mathcal{S}$$

此外，急减函数的有限和还是急减函数，因此 (3) 成立.

(3) $\Rightarrow$ (1) 取 $P(x)$ 为零次多项式，$Q(D)$ 为零阶导即可. $\square$