数学物理方程 - 12.19 Cauchy 问题降维法、传播波法、Huygens 原理、能量方法

降维法

我们这里给出一个特殊的 Cauchy 问题的解法，考虑齐次方程问题：

⎩ ⎨ ⎧ \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} - a^{2} (\frac{\partial ^{2} u}{\partial x _{1}^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial x _{2}^{2}}) = 0 u_{t = 0} = g_{0} (x) \frac{\partial u}{\partial t}_{t = 0} = g_{1} (x)

降维法的核心思路是：

若初值 $g_{0}$ 和 $g_{1}$ 不含 $x_{3}$ 分量且为齐次方程，计算 $u (x, t)$ ，其中若也不含 $x_{3}$ ，就得到了 $n = 2$ 的 $u (x, t)$ .

此时 $u (x, t) = \partial_{t} (tM (g_{0})) + tM (g_{1})$ . 其中 $M$ 表示球面平均值：

tM (g_{1}) = \frac{t}{4 π ( a t ) ^{2}} \int_{∣ x - y ∣ = a t} g_{1} (y) d S_{y}

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我们根据上图，可知

cos θ d S_{y} = d y_{1} d y_{2} (1)

转化成平面上的积分，由球的半径为 $a t$ ，有 $(a t) cos θ = (a t)^{2} - [(x_{1} - y_{1})^{2} + (x_{2} - y_{2})^{2}]$ ，即

cos θ = \frac{( a t ) ^{2} - [( x _{1} - y _{1} ) ^{2} + ( x _{2} - y _{2} ) ^{2} ]}{a t} (2)

代入 (1) 和 (2) 可得

tM (g_{1}) = 2 \cdot \frac{t}{4 π ( a t ) ^{2}} \int_{(x_{1} - y_{1})^{2} + (x_{2} - y_{2}) ⩽ a t} \frac{g _{1} ( y _{1} , y _{2} )}{cos θ} d y_{1} d y_{2}

这里的 $2$ 是由于上下两半球面都投影到平面上.

继续计算有

= \frac{1}{2 πa} \int_{(x_{1} - y_{1})^{2} + (x_{2} - y_{2}) ⩽ a t} \frac{g _{1} ( y _{1} , y _{2} )}{( a t ) ^{2} - [( x _{1} - y _{1} ) ^{2} + ( x _{2} - y _{2} ) ^{2} ]} d y_{1} d y_{2}

同理可得

\partial_{t} (tM (g_{0})) = \frac{1}{2 πa} \frac{\partial}{\partial t} \int_{(x_{1} - y_{1})^{2} + (x_{2} - y_{2}) ⩽ a t} \frac{g _{0} ( y _{1} , y _{2} )}{( a t ) ^{2} - [( x _{1} - y _{1} ) ^{2} + ( x _{2} - y _{2} ) ^{2} ]} d y_{1} d y_{2}

因此 $n = 2$ 时的解将上式两项相加即可.

齐次方程

⎩ ⎨ ⎧ u_{tt} - a^{2} u_{xx} = 0 u_{t = 0} = g_{0} (x_{1}) u_{t}_{t = 0} = g_{1} (x_{1})

考虑柱面面积为 $2 π r d y_{1}$ ，根据下图可得

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\frac{2 π r d y _{1}}{d S} = cos θ = \frac{r}{a t} \Rightarrow d S = 2 πa t d y_{1}

可得

tM (g_{1}) = \frac{1}{4 π a ^{2} t} \int_{∣ x - y ∣ = a t}