数学物理方程 - 9.24 广义函数间的卷积

广义函数与 $C_0^{\infty }$ 函数的卷积

定理：广义函数与 $C_0^{\infty }$ 函数卷积的结合律

设 $f\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ ，$\phi ,\psi \in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 有 $(f\ast \phi )\ast \psi =f\ast (\phi \ast \psi )$

我们利用如下的引理：

引理： $\int ⟨f(x),\phi (x,y)⟩\mathrm{d}y=⟨f(x),\int \phi (x,y)\mathrm{d}y⟩$

根据 $⟨f(x),\phi (x,y)⟩\in C_0^{\infty }$ ，从而

$$s(y):=⟨f(x),\phi (x,y)⟩$$

可积，将积分写为 Riemann 有和

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结合律的证明：

利用引理有

$$\begin{array}{rl}((f\ast \phi )\ast \psi )(x)& =\int (f\ast \phi )(y)\psi (x-y)\mathrm{d}y\\ & =\int ⟨f(z),\phi (y-z)⟩\psi (x-y)\mathrm{d}y\\ & =\int ⟨f(z),\phi (y-z)\psi (x-y)⟩\mathrm{d}y\\ & \stackrel{y-z=w}{=}⟨f(z),\int \phi (w)\psi (x-z-w)\mathrm{d}w⟩\\ & =⟨f(z),(\phi \ast \psi )(x-z)⟩\\ & =(f\ast (\phi \ast \psi ))(x)\end{array}$$

因此结合律成立. $\square$

广义函数的 $C^{\infty }$ 逼近

定理：广义函数的 $C^{\infty }$ 逼近

任意广义函数皆可用 $C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 函数在 ${\mathcal{D}}^{\prime }$ 意义下逼近.

广义函数间的卷积

定义：广义函数间的卷积

设 $f\in {\mathcal{D}}^{\prime },g\in {\mathcal{E}}^{\prime }$ ，则可定义 $f,g$ 的卷积 $⟨f\ast g,\phi ⟩=⟨f(x),⟨g(y),\phi (x+y)⟩⟩,\forall \phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$