数学物理方程 - 9.5 广义函数及其性质

广义函数

泛函的连续性

定义：广义函数

我们称基本函数空间上的连续线性泛函为广义函数.

给定连续线性泛函 $f$ ，在 PDE 中我们记 $f(\phi )$ 为如下的形式

$${⟨f,\phi ⟩}_x=f(\phi (x))$$

接下来我们要讨论在基本函数空间 $\mathcal{D}(\Omega )$ （赋予了归纳极限拓扑的 $C_0^{\infty }(\Omega )$）上的连续性问题.

定义：广义函数连续性 I

若 $\left\{{\phi }_j\right\}\subset C_0^{\infty }(\Omega )$ ，且在 $\mathcal{D}$ 中 ${\phi }_j\to 0$ ，则有 $f({\phi }_j)\to 0$ 或记为 $⟨f,{\phi }_j⟩\to 0$

定义：广义函数连续性 II

给定任意一个紧集 $K\subseteq \Omega$ ，一定存在常数 $c\in \mathbb{R}$ 和 $k\in \mathbb{N}$ ，使得 $|⟨f,\phi ⟩|⩽c\sum _{|\alpha |⩽k}{\sup }_{\Omega }|{\partial }_x^{\alpha }\phi |,\forall \phi \in C_0^{\infty }(K)$

定义 I 和 II 是等价的，这可以根据泛函分析当中的连续线性泛函等价于有界线性泛函直接得到.

对于定义 II ，当 $k=0$ 时，我们有较为易用的形式：

$$|⟨f,\phi ⟩|⩽c\underset{\Omega }{\sup }|\phi |$$

最终，我们建立了广义函数的定义，$\mathcal{D}(\Omega )$ 上的广义函数全体我们记为 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ .

广义函数的例子

例 1

设 $f\in L_{\mathrm{loc}}(\Omega )$ 为局部 Lebesgue 可积函数，即任意的紧集 $K\subseteq \Omega$ ，${\int }_{K}f(x)\mathrm{d}x$ 存在. 求证：$f\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ ，其中作用方式为 $⟨f,\phi ⟩={\int }_{\Omega }f(x)\phi (x)\mathrm{d}x,\phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$

首先需要说明 $⟨f,\phi ⟩$ 是良定义的，即积分可积，由于积分域可直接变换为 $\mathrm{supp}(\phi )$ ，在紧集上可积函数乘 $C_0^{\infty }$ 函数显然是可积的. 因此是良定义的.

然后我们要说明其为连续线性泛函，线性性根据积分的线性性可知成立，连续性考虑利用第二个等价定义，取 $k=0$ 可得

$$\begin{array}{rl}|⟨f,\phi ⟩|& =\left|{\int }_{K}f(x)g(x)\mathrm{d}x\right|\\ & ⩽\underset{K}{\sup }|\phi |{\int }_K|f|\mathrm{d}x=c\underset{K}{\sup }|\phi |\end{array}$$

其中取

$$c={\int }_K|f(x)|\mathrm{d}x$$

即可. $\square$

例 2

设 Dirac 函数 $\delta (x)$，对于任意 $\phi \in C(\mathbb{R})$ 有 $⟨\delta ,\phi ⟩=\phi (0)$ 证明：$\delta \in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ .

首先

$$⟨\delta ,c_1{\phi }_1+c_2{\phi }_2⟩=c_1{\phi }_1(0)+c_2{\phi }_2(0)=c_1⟨\delta ,{\phi }_1⟩+c_2⟨\delta ,{\phi }_2⟩$$

因此该泛函是线性的，同时考虑其连续性，取 $c=1,k=0$ 即可：

$$|⟨\delta ,\phi ⟩|=|\phi (0)|⩽\underset{x\in K}{\sup }|\phi (x)|$$

其中 $K$ 为任意紧集. $\square$

我们在上面良定义了 $\delta$ 函数，事实上它应该写成如下的形式

$$⟨\delta ,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\phi (x)\mathrm{d}x=\phi (0)$$

广义函数的运算

广义为零

定义：广义为零

设 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 满足对于任意的 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$ 均有 $⟨u,\phi ⟩=0$ 则称 $u$ 广义为零.

定义：广义相等

设 $u,v\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 满足 $u-v$ 广义为零，则 $u$ 和 $v$ 广义相等，记为 $u=v$.

定义：广义函数支集

广义函数 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 的支集 $\mathrm{supp}(u)$ 是 $u$ 在其上为 $0$ 的最大开子集的余集. 即： $\mathrm{supp}(u)={\left\{u=0\text{ 的最大开子集 }\right\}}^c$