数学物理方程 11.19 - 热传导方程 Cauchy 问题、初边值问题

热传导方程 Cauchy 问题

热传导方程的 Cauchy 问题：

$$(\mathrm{P})\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=f(x,t),& t>0\\ u{|}_{t=0}=\phi (x)& \end{array}$$

此时我们考虑方法二：利用基本解：

$$\tilde{u}(x,t)=H(t)u(x,t)$$

其中 $u(x,t)$ 满足问题 $(\mathrm{P})$ ，显然 $\tilde{u}(x,t)=u(x,t),t>0$ ，

我们接下来要验证 $\tilde{u}$ 也满足 $(\mathrm{P})$ 所示条件，考虑

$$\begin{array}{rl}\left(\frac{\partial }{\partial t}-a^2\Delta \right)\tilde{u}(x,t)& =\left(\frac{\partial }{\partial t}-a^2\Delta \right)(H(x,t)u(x,t))\\ & ={\partial }_t(H(x,t)u(x,t))-a^2\Delta (H(t)u(x,t))\\ & =\delta (t)u(x,t)+u_t\cdot H(t)-a^{2}H(t)\Delta u\\ & =\delta (t)u(x,t)+H(t)f(x,t)\end{array}$$

我们对第一项广义函数进行考虑：对任意 $\psi (t)\in C_0^{\infty }(\mathbb{R})$ ，有

$$\begin{array}{rl}⟨\delta (t)u(t),\psi (t)⟩& =⟨\delta (t),u(t,x)\psi (t)⟩\\ & =⟨\delta (t)u(0,x),\psi (t)⟩\\ & :=⟨\delta (t)\phi (x),\psi (t)⟩\end{array}$$

这说明 $\delta (t)u(t,x)=\delta (t)\cdot \phi (x)$ ，我们记

$$F(x,t):=\delta (t)\phi (x)+H(t)f(x,t)$$

因此根据基本解的性质，我们考虑

$$\begin{array}{rl}\tilde{u}(t,x)& =E(x,t)\ast F(x,t)\\ & =E(x,t)\ast (\delta (t)\phi (x)+H(t)f(t,x))\end{array}$$

其中 $E(x,t)$ 为基本解，我们分别考虑其中的第一项和第二项.

1️⃣ 第一项，即 $E(x,t)\ast \delta (t)\phi (x)$ ，取 ${\Phi }_{\epsilon }$ 为磨光核，对广义函数进行磨光，令

$${\delta }_{\epsilon }(t)\ast {\Phi }_{\epsilon }(t)\in C^{\infty }(\mathbb{R})$$

卷积有：

$$\begin{array}{rl}({\delta }_{\epsilon }(t)\phi (x))\ast E(x,t)& ={\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\delta }_{\epsilon }(\tau )\phi (y)E(x-y,t-\tau )\mathrm{d}\tau \mathrm{d}y\end{array}$$

根据 ${\delta }_{\epsilon }(t)\in C_0^{\infty }(\mathbb{R})$ ，$\phi (x)$ 有界连续，$E(x,t)$ 在空间方向 $x$ 为急减的，从而上述积分有意义，那么

$$\begin{array}{rl}({\delta }_{\epsilon }(x)\cdot \phi (x))\ast E(x,t)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\phi (y)\mathrm{d}y{\int }_{\mathbb{R}}{\delta }_{\epsilon }(t)E(x-y,t-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & =⟨\phi (y),⟨{\delta }_{\epsilon }(\tau ),E(x-y,t-\tau )⟩⟩\end{array}$$

我们给两侧取极限有：

$$(\delta (t)\cdot \phi (x))\ast E(x,t)=⟨\phi (y),E(x-y,t)⟩$$

最终可得

$$E(x,t)\ast \phi (x)=H(t)(4\pi a^{2}t{)}^{-\frac{n}{2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\phi (y){\mathrm{e}}^{-\frac{|x-y{|}^2}{4a^{2}t}}\mathrm{d}y$$

这个和方法一的结果相同.

2️⃣ 接下来计算第二项：

$$[H(t)f(x,t)]\ast E(x,t)$$

第二项的计算过程如下：

$$\begin{array}{rl}& (H(t)f(x,t))\ast E(x,t)=\\ & {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathbb{R}}H(\tau )f(y,\tau )H(t-\tau )[4\pi a^2(t-\tau ){]}^{-\frac{n}{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{|x-y{|}^2}{4a^2(t-\tau )}}\mathrm{d}\tau \mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{\mathbb{R}}H(\tau )f(y,\tau )E(x-y,t-\tau )\mathrm{d}\tau \mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_0^{t}f(y,\tau )(4\pi a^2(t-\tau ){)}^{-\frac{n}{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{|x-y{|}^2}{4a^2(t-\tau )}}\mathrm{d}\tau \mathrm{d}y\end{array}$$

和法一中的 $(\mathrm{P}2)$ 解相同，综上有

$$\tilde{u}(t,x)=\phi (x)\ast E(x,t)+(H(t)f(x,t))\ast E(x,t)$$

当 $t>0$ 时 $\tilde{u}=u$ .

初边值问题

热传导方程的初边值问题即为如下问题：

$$\{\begin{array}{llc}\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=0,& t>0,& x\in \Omega \\ u{|}_{t=0}=f(x)& & \\ u{|}_{\partial \Omega }=g(x,t)& & \end{array}$$

给定的两个条件分别是初值条件和边值条件，这个问题是 PDE 比较常见类型的问题，我们在位势方程当中没讲这个问题的原因是：初边值都给定时，位势方程基本是无解的，我们在 Green 函数一节当中讲过.

如果我们考虑 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 随着时间变化，那么我们可以绘图如下：

这实际上就是热传导方程的物理意义：物体内部温度变化随时间变化时符合上述 PDE 的关系（不考虑热胀冷缩）. 一般而言，我们只能测量到物体边界的温度，换句话说，我们是能测量到抛物边界上的温度，抛物边界定义为 $\Gamma$ ，对区域 $\Omega \times [0,T]$ ，其抛物柱面为

$$U_T=\Omega \times (0,T]$$

而抛物边界为

$$\Gamma =\overline{U_T}-U_T$$

因此可以认为是图中柱体表面除去顶部的部分.

极值原理

我们只能测量抛物边界上的温度，但是下面的定理将告诉我们，只测量边界上的温度照样可以知道温度的最值.

定理：极值原理

设 $u(x,t)$ 在 $R_T=\left\{\alpha ⩽x⩽\beta ,0⩽t⩽T\right\}$ 且在 $R_T$ 内满足 ${\partial }_{t}u-a^2{\partial }_x^{2}u=0$ ，则在 $R_T$ 的抛物边界上 $u$ 取最大值和最小值，记 ${\Gamma }_T$ 为 $R_T$ 的抛物边界.

解的稳定性和唯一性

接下来我们要研究两个问题解的稳定性和唯一性，分别是：

• Cauchy 问题；
• 初边值问题.

我们接下来先看初边值问题的唯一性和稳定性.

初边值问题解的唯一性和稳定性

我们记

$$(\mathrm{P})\{\begin{array}{l}{u}_t=a^2{u}_{xx}+f(x,t)\\ u(x,0)=\phi (x)\\ u(\alpha ,t)={\mu }_1(t),u(\beta ,t)={\mu }_2(t)\end{array}$$

为初边值问题，那么有

初边值问题解的唯一性和稳定性

$(\mathrm{P})$ 在区域 $R_T$ 上的解是唯一的，且连续地依赖于 ${\Gamma }_T$ 上所给定的初始条件及边界条件.

证明： 首先证明其唯一性：设 $u_1(x,t)$ 和 $u_2(x,t)$ 均满足 $(\mathrm{P})$ ，那么令

$$u(x,t)=u_1-u_2$$

此时有

$$\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0,& t>0\\ u{|}_{{\Gamma }_T}=0& \end{array}$$

根据极值原理可得

$$\underset{R_T}{\max }u(x,t)=\underset{{\Gamma }_T}{\max }u=0$$

同理

$$\underset{R_T}{\min }u(x,t)=\underset{{\Gamma }_T}{\min }u=0$$

因此 $u\equiv 0$ ，也就使得唯一性成立. 下面再看稳定性，如果 $u_1$ 和 $u_2$ 分别满足：

$$(\mathrm{P}1)\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),& t>0\\ u{|}_{{\Gamma }_T}=g_1(x,t)& \end{array}$$

和

$$(\mathrm{P}2)\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),& t>0\\ u{|}_{{\Gamma }_T}=g_2(x,t)& \end{array}$$

两个问题，且 $\underset{{\Gamma }_T}{\max }|g_1-g_2|⩽\epsilon$ ，则令 $u=u_1-u_2$ ，它满足问题：

$$({\mathrm{P}}^{\prime })\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0,& t>0\\ u{|}_{{\Gamma }_T}=g_1-g_2& \end{array}$$

即有

$$|u_1-u_2|⩽\underset{{\Gamma }_T}{\max }|g_1-g_2|⩽\epsilon$$

故稳定性结论成立. $\square$