数学物理方程 12.10 - 传播波法、Kirhoff 公式

我们已经研究了弦振动方程的两个问题：

• Cauchy 问题 $x\in \mathbb{R}$ .
• 初边值问题 $x\in [0,l]$ .

接下来我们要进一步探究一个混合的问题：半无界弦振动，也就是在 Cauchy 问题的基础上对范围进行限制：

$$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),(t>0,-\infty <x<\infty )\\ u{|}_{t=0}=\phi (x),x\in \mathbb{R}\\ \frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}=\psi (x),x\in \mathbb{R}\\ u{|}_{x=0}=0\end{array}$$

半无界弦的自由振动问题

这个部分也称混合问题，我们有如下的混合问题：

$$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0,t>0,0<x<\infty \\ u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x),0⩽x<\infty \\ u(0,t)=0\end{array}$$

这里我们有半初值和半边值，只在 $x>0$ 一侧有弦，设想 $x<0$ 处仍然有弦，只是在振动时 $x=0$ 不动即可.

基于上面的思想，我们可将初值进行延拓，变为整个 Cauchy 问题，设 $\Phi (x)$ 为延拓后的 $\phi (x)$ ，$\Psi (x)$ 为延拓后的 $\psi (x)$ . 则根据 Cauchy 问题的解可以得到：

$$\{\begin{array}{l}u(x,t)=\frac{1}{2}[\Phi (x+at)+\Phi (x-at)]+\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x+at}\Psi (y)\mathrm{d}y\\ u(0,t)=0\end{array}$$

这里我们比一般的问题多了半边值. 下面我们代入半边值条件，并对初值进行延拓，求解上面的 $u(x,t)$ .

代入 $u(0,t)=0$ ，可得

$$\frac{1}{2}[\Phi (at)+\Phi (-at)]+\frac{1}{2a}{\int }_{-at}^{at}\Psi (y)\mathrm{d}y=0$$

如果 $\Phi$ 和 $\Psi$ 都是奇函数，则上式一定是成立的，因此我们延拓的方式取为奇延拓：

$$\Phi (x)=\{\begin{array}{ll}\phi (x),& x⩾0\\ -\phi (-x),& x<0\end{array}$$

再将得到的 $\Phi (x)$ 和 $\Psi$ 代入可以得到最终结果，但是问题在于 $x+at$ 和 $x-at$ 的正负性未知，因此我们需要分类讨论.

对于 $x+at$ 有 $x⩾0$ ，$t>0,a>0$ ，从而 $x+at⩾0$ .

对于 $x-at$ ，此时需要分类： 1️⃣ $x-at⩾0$ ，有 $\Phi (x-at)=\phi (x-at)$ ，$\Psi (y)=\psi (y)$ ，其中

$$y\in [x-at,x+at]$$

可得 $u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi (x-at)+\phi (x+at)]+\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x+at}\psi (y)\mathrm{d}y$ .

2️⃣ $x-at<0$ ，有 $\Phi (x-at)=-\phi (at-x)$ ，且

$$\Psi (y)=\{\begin{array}{ll}\psi (y),& y\in [0,x+at]\\ -\psi (-y),& y\in [x-at,0)\end{array}$$

因此有

$$\begin{array}{rl}u(x,t)& =\frac{1}{2}[\phi (x+at)-\phi (at-x)]+\frac{1}{2a}\left[{\int }_0^{x+at}\psi (y)\mathrm{d}y+{\int }_{x-at}^0-\psi (-y)\right]\mathrm{d}y\end{array}$$

令 $\tau =-y$ 换元即可：

$$u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi (x+at)-\phi (at-x)]+\frac{1}{2a}{\int }_{at-x}^{x+at}\psi (y)\mathrm{d}y$$

d’Alembert 解和 Fourier 方法解之间的关系

如果把初边值问题当中的 $\phi ,\psi ,x\in [0,l]$ 延拓为 $2l$ 为周期的奇函数，在此延拓的基础上，两个解是等价的. 我们用齐次方程进行说明.

延拓之后我们有

$$\phi (x)=\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k\sin \frac{k\pi x}{l},\psi (x)=\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k\sin \frac{k\pi x}{l}$$

其中

$$a_k=\frac{2}{l}{\int }_0^l\phi (x)\sin \frac{k\pi x}{l}\mathrm{d}x,b_k=\frac{2}{l}{\int }_0^l\psi (x)\sin \frac{k\pi x}{l}\mathrm{d}x$$

代入齐次的 Cauchy 问题的 d’Alembert 公式有

$$\begin{array}{rl}u(x,t)& =\frac{1}{2}\left[\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k\sin \frac{k\pi (x+at)}{l}+\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k\sin \frac{k\pi (x-at)}{l}\right]\\ & +\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x+at}\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k\sin \frac{k\pi y}{l}\mathrm{d}y\end{array}$$

其中积分考虑

$$\begin{array}{rl}{\int }_{x-at}^{x+at}\sin \frac{k\pi y}{l}\mathrm{d}y& =\frac{2l}{k\pi }\sin \frac{2k\pi x}{2l}\sin \frac{2k\pi at}{2l}\end{array}$$

代入上述两式有

$$\begin{array}{rl}& =\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k\sin \frac{k\pi x}{l}\cos \frac{k\pi at}{l}+\sum _{k=1}^{\infty }\widehat{b_k}\sin \frac{k\pi x}{l}\sin \frac{k\pi at}{l}\end{array}$$

其中

$$\widehat{b_k}=\frac{l}{ak\pi }{b}_k$$

这个和 Fourier 方法求出的解是一样的.