数学物理方程 - 第七次作业

习题 7.2 T3(1)

用 Fourier 方法求解以下初边值问题： $\{\begin{array}{ll}{u}_t-u_{xx}=0,& 0<x<\pi ,t>0\\ u(0,t)=u(\pi ,t)=0,& \\ u(x,0)=\sin x.& \end{array}$

首先视为变量分离解：

$$u(x,t)=X(x)T(t)$$

考虑将上述函数代入 $(\mathrm{P}1)$ ，有

$$X(x)T^{\prime }(t)=a^2{X}^{\prime \prime }(x)T(t)$$

得到

$$\frac{X^{\prime \prime }(x)}{X(x)}=\frac{T^{\prime }(t)}{a^{2}T(t)}=-\mu$$

其中 $\mu$ 为常数，有

$$X^{\prime \prime }(x)+\mu X(x)=0$$

考虑边值：

$$u(0,t)=X(0)T(t)=0,u(l,t)=X(l)T(t)=0$$

我们就得到了一个 ODE 边值问题：

$$\{\begin{array}{l}{X}^{\prime \prime }(x)+\mu X(x)=0\\ X(0)=X(l)=0\end{array}$$

经过分类讨论（略过其中平凡解的部分），当且仅当 $\mu >0$ 时解得

$$X(x)=c_1\cos \sqrt{\mu }x+c_2\sin \sqrt{\mu }x$$

代入 $0$ 可得 $c_1=0$ ，代入 $l$ 可得

$$X(l)=c_2\sin \sqrt{\mu }l=0$$

为了使得上述的 $c_2\ne 0$ ，需要对 $\mu$ 作一些限制，即

$$\sqrt{\mu }l=k\pi ,{\mu }_k={\left(\frac{k\pi }{l}\right)}^2$$

因此 $X_k(x)=c_k\sin \frac{k\pi }{l}x$ . 固定 ${\mu }_k$ 后可得

$$T_k^{\prime }(t)+a^2{\mu }_k{T}_k(t)=0$$

这是一个一阶齐次线性 ODE 问题，那么容易解得

$$T_k(t)=B_k{\mathrm{e}}^{-a^2(\frac{k\pi }{l}{)}^{2}t}$$

于是最后有

$$u_k(x,t)=X_k(x)T_k(t)=A_k{\mathrm{e}}^{-a^2(\frac{k\pi }{l}{)}^{2}t}\sin \left(\frac{k\pi }{t}x\right)$$

考虑其构成 $L^2[0,l]$ 上的完全正交系，有

$$u(x,t)=\sum _{k=1}^{\infty }{u}_k(x,t)=\sum _{k=1}^{\infty }{A}_k{\mathrm{e}}^{-a^2(\frac{k\pi }{l}{)}^{2}t}\sin \left(\frac{k\pi }{l}x\right)$$

接下来，我们还需讨论 $A_k$ 的取值，我们考虑利用积分：对

$$u{|}_{t=0}=\sum _{k=1}^{\infty }{A}_k\sin \frac{k\pi }{l}x=\phi (x)$$

两侧乘以 $\sin \frac{m\pi }{l}x$ ，其中 $m$ 为某固定正整数，那么积分，根据正交系的性质有

$${\int }_0^l\phi (x)\sin \left(\frac{m\pi }{l}x\right)\mathrm{d}x=A_m{\int }_0^l{\left(\sin \frac{m\pi }{l}x\right)}^2\mathrm{d}x=\frac{l}{2}{A}_m$$

由此有

$$A_m=\frac{2}{l}{\int }_0^l\phi (x)\sin \frac{m\pi }{l}x\mathrm{d}x$$

于是我们就得到了 Fourier 方法的解. 我们将本题中的具体数据代入有：

$$A_m=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin x\sin mx\mathrm{d}x$$

根据三角函数系的正交性，当且仅当 $m=1$ 时 $A_m$ 不为 $0$ ，且

$$A_1=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=1$$

因此综上有

$$u(x,t)={\mathrm{e}}^{-t}\sin x$$

为本题的解. $\square$