数学物理方程 - 第一次作业

习题 2.3 T2

设 $a\in C^{\infty }(\Omega ),u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ ，证明： $\frac{\partial }{\partial x_i}(au)=a\frac{\partial u}{\partial x_i}+u\frac{\partial a}{\partial x_i}$

可知 $a$ 和 $\frac{\partial a}{\partial x_i}$ 均为乘子，故对任意 $\phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$ 有：

$$\begin{array}{rl}⟨a\frac{\partial u}{\partial x_i}+u\frac{\partial a}{\partial x_i},\phi ⟩& =⟨a\frac{\partial u}{\partial x_i},\phi ⟩+⟨u\frac{\partial a}{\partial x_i},\phi ⟩\\ & =(-1)⟨u,\frac{\partial u}{\partial x_i}(a\phi )⟩+⟨u,\phi \frac{\partial a}{\partial x_i}⟩\\ & =⟨u,-a\frac{\partial \phi }{\partial x_i}⟩=-⟨au,\frac{\partial \phi }{\partial x_i}⟩\\ & =⟨\frac{\partial }{\partial x_i}(au),\phi ⟩\end{array}$$

因此二者广义相等. $\square$

习题 2.3 T3

若广义函数 $u$ 满足 $\check{u}=u$ （$\check{u}=-u$），则称 $u$ 为偶（奇）广义函数. 证明：

(1) $\delta$ 函数和常值函数 $c$ 为偶广义函数；

(2) 偶广义函数的微商是奇广义函数；

(3) 任意广义函数 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 可分解为偶广义函数和奇广义函数的和如下： $u=\frac{1}{2}(u+\check{u})+\frac{1}{2}(u-\check{u})$

(4) $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 为偶广义函数当且仅当对任意奇函数 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$ 均有 $⟨u,\phi ⟩=0$ .

(1) 对任意 $\phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$ ，有 $⟨\delta (x),\phi (x)⟩=\phi (0)$ . 且

$$⟨\delta (-x),\phi (x)⟩=⟨\delta (x),\phi (-x)⟩=\phi (0)$$

因此 $\check{\delta }=\delta$ ，从而为偶广义函数. 对于常值 $⟨c,\phi (x)⟩=c$ 有

$$⟨\check{c},\phi (x)⟩=⟨c,\phi (-x)⟩=c$$

因此 $\check{c}=c$ . 从而也为偶广义函数.

(2) 设 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 为偶广义函数，则对于任意 $\phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$ ：

$$⟨\frac{\partial u}{\partial x_i}(x),\phi (x)⟩=(-1)⟨u(x),\frac{\partial \phi }{\partial x_i}(x)⟩\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

且

$$\begin{array}{rl}⟨\frac{\partial u}{\partial x_i}(-x),\phi (x)⟩& =⟨\frac{\partial u}{\partial x_i}(x),\phi (-x)⟩\\ & =(-1)⟨u(x),\frac{\partial }{\partial x_i}\phi (-x)⟩\\ & =⟨u(x),\frac{\partial }{\partial x_i}\phi (x)⟩\end{array}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

根据 $(3.1)$ 和 $(3.2)$ ，可知 $\frac{\partial u}{\partial x_i}$ 为奇广义函数.

(3) 对任意 $\phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$ ：

$$\begin{array}{rl}⟨\frac{1}{2}(u+\check{u})+\frac{1}{2}(u-\check{u}),\phi ⟩& =\frac{1}{2}⟨u+\check{u},\phi ⟩+\frac{1}{2}⟨u-\check{u},\phi ⟩\\ & =⟨u,\phi ⟩\end{array}$$

(4) 必要性证明：对于 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 偶广义函数和 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$ 奇函数，有

$$\begin{array}{rl}⟨u(x),\phi (x)⟩& =⟨u(-x),\phi (x)⟩\\ & =⟨u(x),\phi (-x)⟩\\ & =-⟨u(x),\phi (x)⟩\end{array}$$

故 $⟨u,\phi ⟩=0$ .

充分性证明：首先

$$0=-⟨u(x),\phi (x)⟩=⟨u(x),\phi (-x)⟩=⟨u(-x),\phi (x)⟩$$

故

$$⟨u(x)-u(-x),\phi (x)⟩=0$$

对任意 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$ 为奇函数成立，对 $\forall \psi (x)\in \mathcal{D}(\Omega )$ 偶函数，有

$$\begin{array}{rl}⟨u(x)-u(-x),\psi (x)⟩& =⟨u(x)-u(-x),\psi (-x)⟩\\ & =⟨u(-x)-u(x),\psi (x)⟩\\ & =(-1)⟨u(x)-u(-x),\psi (x)⟩\end{array}$$

从而 $⟨u(x)-u(-x),\psi (x)⟩=0$ ，由于任意 $f\in \mathcal{D}(\Omega )$ 可分解为奇函数和偶函数的和，因此

$$⟨u(x)-u(-x),f(x)⟩=0$$

即 $\check{u}=u$ . $\square$

习题 2.3 T7

若 $f(x)=H(x)\cos x$ 以及 $g(x)=H(x)\sin x$ ，证明： $f^{\prime }(x)=\delta (x)-g(x),g^{\prime }(x)=f(x)$ 且 $g,f$ 分别为微分方程 $u^{\prime \prime }+u=\delta ,u^{\prime \prime }+u={\delta }^{\prime }$ 的解.

首先证明：$\delta (x)$ 和 $\delta (x)\cos x$ 以及 $\delta (x)(1-\sin x)$ 均广义相等，由于

$$⟨\delta (1-\cos x),\phi ⟩=⟨\delta ,(1-\cos x)\phi ⟩=0$$

因此 $\delta (x)$ 和 $\delta (x)\cos x$ 广义相等，同理有 $\delta (x)\sin x$ 广义为 $0$ .

利用题 2 的结论有

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =H^{\prime }(x)\cos x-H(x)\sin x\\ & =\delta (x)\cos x-H(x)\sin x\\ & =\delta (x)-g(x)\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& =H(x)\cos x+\delta \sin x\\ & =H(x)\cos x=f(x)\end{array}$$

因此第一个结论成立，对于微分方程，考虑

$$f^{\prime \prime }(x)={\delta }^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)={\delta }^{\prime }(x)-f(x)$$

和

$$g^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=\delta (x)-g(x)$$

即可. $\square$