数学物理方程 11.26 - Fourier 方法、一般的初边值问题

Fourier 方法收尾

最终的解

在上次课堂上，我们得到了：

$$u_k(x,t)=X_k(x)T_k(t)=A_k{\mathrm{e}}^{-a^2(\frac{k\pi }{l}{)}^{2}t}\sin \left(\frac{k\pi }{t}x\right)$$

那么我们最后可以断言：

$$u(x,t)=\sum _{k=1}^{\infty }{u}_k(x,t)=\sum _{k=1}^{\infty }{A}_k{\mathrm{e}}^{-a^2(\frac{k\pi }{l}{)}^{2}t}\sin \left(\frac{k\pi }{t}x\right)$$

其中 $A_k$ 为常数. 这是为什么呢？事实上这是因为我们研究的方程是齐次线性方程，边值条件为 $0$ ，那么考虑 $\left\{\sin \frac{k\pi }{l}x\right\}$ 是 $L^2$ 中的完全正交系，我们可以用其线性组合表示最终的解.

接下来，我们还需讨论 $A_k$ 的取值，我们考虑利用积分：对

$$u{|}_{t=0}=\sum _{k=1}^{\infty }{A}_k\sin \frac{k\pi }{l}x=\phi (x)$$

两侧乘以 $\sin \frac{m\pi }{l}x$ ，其中 $m$ 为某固定正整数，那么积分，根据正交系的性质有

$${\int }_0^l\phi (x)\sin \left(\frac{m\pi }{l}x\right)\mathrm{d}x=A_m{\int }_0^l{\left(\sin \frac{m\pi }{l}x\right)}^2\mathrm{d}x=\frac{l}{2}{A}_m$$

由此有

$$A_m=\frac{2}{l}{\int }_0^l\phi (x)\sin \frac{m\pi }{l}x\mathrm{d}x$$

于是我们就得到了 Fourier 方法的解：

解为： $u(x,t)=\sum _{k=1}^{\infty }{u}_k(x,t)=\sum _{k=1}^{\infty }{A}_k{\mathrm{e}}^{-a^2(\frac{k\pi }{l}{)}^{2}t}\sin \left(\frac{k\pi }{t}x\right)$ 其中 $A_m=\frac{2}{l}{\int }_0^l\phi (x)\sin \frac{m\pi }{l}x\mathrm{d}x$

解的讨论

得出解后，有个很明显的问题：我们用级数表示解，这个级数是否收敛？注意到首先 $\phi (x)$ 连续，从而有界，此外，由任意 $\delta >0$ ，当 $t⩾\delta$ 时，对任意 $p>0$ ，有

$$\sum _{k=1}^{\infty }{\mu }_k^p{\mathrm{e}}^{-a^2\frac{k\pi }{l}t}$$

一致收敛，于是解有意义.

一般的热传导方程初边值问题

我们接下来要研究的问题是最一般的热传导方程初边值问题，当然，还是考虑 $n=1$ 的一维情形：

$$(\mathrm{P})\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t),t>0\\ u(0,t)=g_1(t),u(l,t)=g_l(t)\\ u{|}_{t=0}=\phi (x)\end{array}$$

方法一：叠加原理+Duhammel 原理

第一步：化为零边值问题

首先我们考虑将边值条件化为 $0$ ，一个简单的想法是构造函数：

$$w=u-v$$

且 $v$ 的边值条件和 $u$ 一致，取

$$v(x,t)=g_1(x,t)+\frac{x}{l}[g_2(t)-g_1(t)]$$

令

$$w(x,t)=u(x,t)-v(x,t)$$

那么有

$$(\mathrm{Pw})\{\begin{array}{l}\frac{\partial w}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=f_w(x,t)\\ w(0,t)=w(l,t)=0\\ w{|}_{t=0}={\phi }_w(x)\end{array}$$

其中的 $f_w$ 和 ${\phi }_w$ 可计算出来. 接下来我们解问题 $(\mathrm{Pw})$ 即可.

第二步：对零边值问题用叠加原理

我们将 $(\mathrm{Pw})$ 进一步拆分为两个问题：

$$(\mathrm{Pw}-1)\{\begin{array}{l}\frac{\partial w}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=0,t>0\\ w(0,t)=w(l,t)=0\\ w{|}_{t=0}={\phi }_w(x)\end{array}$$

以及

$$(\mathrm{Pw}-2)\{\begin{array}{l}\frac{\partial w}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}=f_w(x,t),t>0\\ w(0,t)=w(l,t)=0\\ w{|}_{t=0}=0\end{array}$$

分别求解出对应的 $w_1$ 和 $w_2$ 解即可.

第三步：求解第一个问题

第一个问题和 Fourier 方法的问题一致，因此直接利用 Fourier 方法求解上述的问题即可. 得到 $w_1$ .

第四步：Duhammel 原理

取 $W$ 满足：

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial W}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}W}{\partial x^2}=0,t>\tau \\ W(0,t)=W(l,t)=0\\ W{|}_{t=\tau }=f_w(x,\tau )\end{array}$$

其中

$${\int }_0^{t}W(x,t;\tau )\mathrm{d}\tau =w_2(x,t)$$

那么我们就将其转化为了类似 $(\mathrm{Pw}-1)$ 的问题，使用 Fourier 方法即可.

综上我们便解决了这个初边值问题.

方法二：常数变易法