几何学 - 多边形 (Polygon)

Intro

多边形的概念在以前的几何课当中就学过，其中英文概念的对应为：

• 顶点：vertex
• 边：edge

此外，边数较少的多边形有如下英文单词对应：

$n$	3	4	5	6	7	8
name	triangle	quadirilateral	pentagon	hexagon	heptagon	octagon

多边形分类

简单多边形 (simple polygon)

定义：简单多边形

不自交的多边形称为简单多边形.

简单多边形将平面划分为两个区域，其中面积有限的区域称为多边形区域.

凸多边形 (convex polygon)

定义：凸多边形

如果一条直线与某个多边形要么不交，要么只交于两点，则称该多边形为凸多边形.

凸多边形也可以用凸集的概念定义，它的每个内角都小于 $\pi$ .

对于所有的 $n$ 边形：

• 内角和为 $2\pi (n-2)$ .
• 外角和为 $2\pi$ .

正多边形 (regular polygon)

定义：正多边形

如果多边形各边相等，各内角相等，则称为正多边形.

全等多边形 (congruent polygon)

如果要证明 $m$ 边形 $P$ 和 $n$ 边形 $Q$ 全等，则需要：

• 边数一致：$m=n$ .
• 各内角对应相等：${\alpha }_i={\beta }_i$ .
• 各边长对应相等：$e_i=f_i$ .

正多边形的对称、二面体群

对称变换

这里我们讨论正多边形的对称，而其他类型的多边形实际上也能由此类推，现在考虑变换 $\phi$ ，我们知道多边形如果旋转对称，则通过旋转不到 $2\pi$ 就能使得图形重叠；我们设正多边形 $P$ 经过变换 $\phi$ 后得到 $P^{\prime }$，其顶点分别记为 $v_i,v_i^{\prime }$ ，那么如果有旋转的对称，则当 $\phi (v_1)=v_k^{\prime }$ 时，有

• $v_i$ 和 $v_{k+i-1}^{\prime }$ 所对的内角相等；
• $e_i=e_{k+i-1}^{\prime }$ 边长相等.

同理，如果有轴对称，在上述情形下只需将条件改为：

• $v_i$ 和 $v_{k-i+1}^{\prime }$ 所对的内角相等；
• $e_i=e_{k-i+1}^{\prime }$ 边长相等.

抽象群

下面我们来将刚才所讲的正多边形对称变换标准化，如下图，对正六边形，设 $g_1$ 为逆时针旋转 $120^{\circ }$ ，$g_2$ 为根据对称轴作对称（见图），那么作复合有 $g_1\circ g_2$ .

记所有的变换全体为 $D_n$，继续讨论复合运算，它相当于对称变换的二元运算：

$$\circ :D_n\times D_n\to D_n,(g,g^{\prime })\mapsto g\circ g^{\prime }$$

它有什么运算性质呢？

• 它满足结合律，也就是说 $g_1,g_2,g_3\in D_n$ 时，有 $g_3\circ (g_1\circ g_2)=(g_3\circ g_1)\circ g_2$ .
• 对恒等映射 ${\mathrm{id}}_P$ ，它是运算的“幺元”，换言之，所有与它复合的元素都保持原样：${\mathrm{id}}_P\circ g=g\circ {\mathrm{id}}_P=g$ .
• 所有的变换都有逆变换，换言之对 $g\in D_n$ ，存在 $g^{-1}\in D_n$ ，使得 $g\circ g^{-1}={\mathrm{id}}_P$ .

那么我们这里可以引入抽象群的概念了.

定义：群

抽象群是一个非空集合 + 二元运算的有序对 $(X,\circ )$ ，其中

$$\circ :X\times X\to X,(x,y)\mapsto x\circ y$$

并且二元运算满足如下群公理：

1. 结合律：$x\circ (y\circ z)=(x\circ y)\circ z$ .
2. 存在幺元：$e\in X$ 使得 $e\circ x=x\circ e=x$ .
3. 存在逆元：$x\in X$ 都存在 $x^{-1}$ 使得 $x\circ x^{-1}=x^{-1}\circ x=e$ .

二面体群 (Dihedral groups)

在刚刚我们已经提到，对平面几何图形的变换无非是旋转和反射 (reflect) 变换，那么我们设对于正 $n$ 边形，$r=\frac{2\pi }{n}$ 且 $s$ 为根据某个固定对称轴反射，则我们可以逐步推广：

• $r$ 进行 $k$ 次复合得到 $r^k$ ，相当于逆时针旋转 $\frac{2k\pi }{n}$ ；
• $s^2$ 得到的是幺元 $\mathrm{id}$ .

从而我们可以得到 $D_n$ 的元素为：

$$D_n=\left\{\mathrm{id},r,\cdots ,r^{n-1},s,r\circ s,r^2\circ s,\cdots ,r^{n-1}\circ s\right\}$$

我们称 $D_n$ 为 $n$ 阶二面体群，上述的所有元素都可以用 $\left\{r,n\right\}$ 生成，因此 $\left\{r,n\right\}$ 称为生成元 (generators). 其阶数（即群中元素个数）为 $2n$ .

我们可以用一种名为 Cayley 图的图像来描述生成元生成各个元素的路径. 这里给一个很好的 Cayley 图可视化网站以供学习交流使用.