几何学 - 欧氏几何

几何直觉

这一部分很简单，提到的主要是如下的一点内容：

• 两点之间线段最短；
• 路径长度可以通过无限细分求得，最短长度来自于两点间线段；
• 引入笛卡尔坐标系.

欧氏平面模型

定义： ${\mathbb{R}}^2$ 欧氏距离空间

${\mathbb{R}}^2$ 是如下所有点的全体：

$${\mathbb{R}}^2:=\left\{(x_1,x_2)\mid x_1,x_2\in \mathbb{R}\right\}$$

并赋予如下的欧氏度量：

$$p=(x_1,x_2),q=(y_1,y_2),d_{\mathbb{E}}(p,q)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2}$$

这里的度量是什么意思？在拓扑当中我们称空间 $X$ 上的一个二元实函数（或更严格地来说应称泛函）：

$$d:X\times X\to \mathbb{R}$$

为度量，如果满足度量公理：

定义：度量空间 (metric space)

定义有序对 $(X,d)$ 为度量空间，其中 $X$ 为集合，$d:X\times X\mapsto {\mathbb{R}}^{+}$ 为满足条件的二元函数：

1. $d$ 是一个非负有限实值二元函数；
2. $d(x,y)=0⟺x=y$ ；
3. （对称性, symmetry）$d(x,y)=d(y,x)$ ；
4. （三角不等式, triangle inequality） $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z),\forall x,y,z\in X$.

$d$ 称为该度量空间当中的度量 (metric)，若 $d$ 不满足上述的 2 ，则称为伪度量 (pseudometric).

${\mathbb{R}}^2$ 的欧氏距离显然满足如上公理，其中三角不等式使用 Cauchy-Schwarz 不等式即可.

参数化曲线 (parametrized path)

参数方程

定义：参数化曲线

一个 ${\mathbb{R}}^2$ 中的参数曲线或路径 (path) 是如下的一个连续映射：

$$\gamma :[0,1]\to {\mathbb{R}}^2,t\mapsto ({\gamma }_1(t),{\gamma }_2(t)).$$

其中 ${\gamma }_1$ 和 ${\gamma }_2$ 都是连续映射，$t$ 为曲线的参数.

将曲线参数化实际上就是把曲线看作一个点从 $0$ 到 $1$ 秒的运动路径，我们认定 $t$ 为运动时间，将一个二维问题转变为一维问题而已.

参数曲线的分割与长度

我们已经知道两点之间距离的计算方法，对于任意的参数曲线，利用极限的语言就能说明其长度.

定义：参数曲线的长度

参数曲线 $\gamma$ 的长度定义为如下的上确界：

$$l(\gamma ):=\sup \left\{l_P(\gamma )\in \mathbb{R}\mid \forall P\text{ is a partition of }[0,1]\right\}$$

通过这个定义，我们可以证明我们刚才所说的几何直觉，利用三角不等式即可证明两点之间线段最短.

可校正曲线 (rectifiable)

定义：可校正曲线 (rectifiable)

参数化曲线 $\gamma$ 如果具有有限的长度 $l(\gamma )$ . 则称其为可校正曲线.

这个概念比较简单，证明某个曲线是可校正曲线只需使用到一些分析知识即可.

直线的描述

欧氏平面描述直线只需使用

$${\mathbb{L}}_{p,q}=\left\{(t{x}_1+(1-t)y_1,t{x}_2+(1-t)y_2)\in {\mathbb{R}}^2\mid t\in \mathbb{R}\right\}$$

当

$${\mathbb{L}}_{p,q}\cap {\mathbb{L}}_{p^{\prime },q^{\prime }}=\varnothing$$

则称两个直线是平行的.

${\mathbb{R}}^2$ 上的等距同构 (Isometry) 与对称

等距同构 (Isometry)

定义：等距同构

映射 $f$ 称为 ${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 上的等距同构，如果它保持欧氏距离，换言之即为对任意 $p,q\in {\mathbb{R}}^2$ ，都有

$$d_{\mathbb{E}}(p,q)=d_{\mathbb{E}}(f(p),f(q)).$$

记这些映射的全体为 $\mathrm{Isom}{\mathbb{R}}^2$ .

这是我们接下来要研究的主要对象，需要注意的是，等距同构的复合运算仍得到等距同构，此时可证明 $\mathrm{Isom}{\mathbb{R}}^2$ 是一个同构群.

等距同构一定是满射吗？

对于一些度量空间，等距同构可能不是满射，例如 ${\mathbb{R}}^{\oplus \mathbb{N}}\to \left\{0\right\}\oplus {\mathbb{R}}^{\oplus \mathbb{N}}$ . 但是如果这些空间中球面是紧集，则等距同构一定是满射.

${\mathbb{R}}^2$ 上的仿射 (Affine) 结构

平移

定义：变换坐标平面

用 ${\overrightarrow{\mathbb{R}}}_p$ 表示以 $p$ 为坐标原点的所有实数向量集合：

$$\Psi :\mathbb{R}\to {\overrightarrow{\mathbb{R}}}_p,q\mapsto \overrightarrow{pq}$$

这个变换可以理解为将坐标原点平移到 $p$ ，从而以 $p$ 为原点重建坐标.

定义：平移变换

给定实数对 $(v_1,v_2)\in {\mathbb{R}}^2$ 可定义平移变换为如下的映射：

$$T_{(v_1,v_2)}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,p\mapsto p+(v_1,v_2)$$

这个映射可以验证其为等距同构. 这个想法是很自然的，因为距离显然不变，然后平移变换的逆变换也符合直觉：

$$T_{(v_1,v_2)}^{-1}:p\mapsto p-(v_1,v_2)$$

欧氏仿射平面 (Euclidean affine plane)

定义：欧氏仿射平面 (Euclidean affine plane)

定义如下映射：

$$T:{\mathbb{R}}^2\times {\overrightarrow{\mathbb{R}}}^2\to {\mathbb{R}}^2,(p,\overrightarrow{v})\mapsto p+\overrightarrow{v}$$

称 $({\mathbb{R}}^2,{\overrightarrow{\mathbb{R}}}^2,T)$ 为欧氏仿射平面.

我们可以看到，实际上欧氏仿射平面就是考虑 $p$ 在固定的平移 $v$ 的仿射变换下的一一对应关系.

其中的向量就和我们在高等代数中学的线性空间一样，具有线性空间里面加法、数乘的性质，在此不赘述.

教材上说一大堆实际上就是在说明其符合线性空间的诸多性质.

${\mathbb{R}}^2$ 的等距自同构

用同构诱导线性映射

设 $f\in \mathrm{Isom}{\mathbb{R}}^2$ ，不失一般性，可以认为 $f(O)=O$ ，也就是说将零点映射为零点. 如果不是，直接全平面作平移即可，不影响同构.

等距同构诱导线性映射

利用 $f$ 诱导线性映射为：

$$L_f:\overrightarrow{{\mathbb{R}}^2}\to \overrightarrow{{\mathbb{R}}^2},f(O+\overrightarrow{v})=O+L_f(\overrightarrow{v})$$

这个映射是线性映射是比较显然的，直接利用平行四边形法则即可.

用基来描述线性映射

这里在高等代数中就已经学过，在此还是再简单复习一下，我们如果在欧氏平面上使用 ${\vec{e}}_1=(1,0{)}^{\mathrm{T}}$ 以及 ${\vec{e}}_2=(0,1{)}^{\mathrm{T}}$ 作为基 $\mathcal{B}$，那么对于任意的向量，根据平面向量基本定理可知

$$\vec{v}=v_1{\vec{e}}_1+v_2{\vec{e}}_2$$

这里称 $(v_1,v_2)$ 为 $\vec{v}$ 在 $\mathcal{B}$ 下的坐标，显然对于相同的向量，不同的基有不同的坐标.

那么，从高代的角度出发，基变换可以用矩阵来表示，我们只要从两个基之间的变换开始，假如 ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ 基线性变换到 ${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2$ ：

$$\{\begin{array}{l}{\vec{v}}_1=a_1{\vec{e}}_1+a_2{\vec{e}}_2\\ {\vec{v}}_2=b_1{\vec{e}}_1+b_2{\vec{e}}_2\end{array}$$

那么有

$$\left(\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\vec{e}}_1\\ {\vec{e}}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\vec{v}}_1\\ {\vec{v}}_2\end{array}\right)$$

新坐标下 $\vec{v}$ 应该表示为什么？我们自然想到

$$\begin{array}{rl}\vec{v}& =v_1{\vec{e}}_1+v_2{\vec{e}}_2=w_1{\vec{v}}_1+w_2{\vec{v}}_2\\ & =w_1(a_1{\vec{e}}_1+a_2{\vec{e}}_2)+w_2(b_1{\vec{e}}_1+b_2{\vec{e}}_2)\\ & =(w_1{a}_1+w_2{b}_1){\vec{e}}_1+(w_1{a}_2+w_2{b}_2){\vec{e}}_2\end{array}$$

从线性方程组

$$\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)$$

解出系数即可. 这也就是说所谓的基变换也就是对原来的向量作线性变换而已.

现在我们来说明基变换的矩阵表示. 一个非常简单的例子就是单位矩阵：

$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$$

它表示从标准正交基转为标准正交基. 如果考虑下面的例子：

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$$

它表示一个在标准正交基下坐标为 $(3,1)$ 的向量在基 $\left\{(1,0),(2,1)\right\}$ 下坐标为 $(1,1)$ . 这就说明

$$Ax=y$$

在几何的观点来看，就是在标准正交基下坐标为 $y$ 的向量在 $A$ 的列向量作为基的时候坐标为 $x$ . （如果 $A$ 不满秩，则会出现无解或者无穷解的情况，这分别对应了超出基的子空间、和两个基向量共线性的情形）

然后 $A$ 也可视为一种线性变换，将 $x$ 线性变换到 $y$ ，因此矩阵和线性变换也是一一对应的.

• 如果线性变换没有“降维”，换言之 $A$ 满秩，则 $A$ 可逆，从而线性变换也有其逆变换.

这个说法实际上有意思的点在于这很符合我们的几何直观，如果我们选线性变换为

$$L:L(x)=(x_1,0)$$

即只取坐标轴投影，那么所有具有相同横坐标的向量都会有相同的变换结果，自然没有逆变换.

这是一种“降维打击”，这相当于把二维降到一维，所有降维的线性变换都是不可逆的.

正交群和特殊正交群

定义：正交群

如下集合关于矩阵乘法构成正交群：

$$O(2):=\left\{M\in {\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})\mid M{M}^{\mathrm{T}}=I_2\right\}$$

这个群对应的线性变换也叫正交变换，它们是固定原点的线性变换，换言之不能是平移或者滑移 (glide) . 但是可以是伸缩或者旋转.

在这里我们不验证群公理，很简单不多说，但是我们可以发现，对于上面的正交群，可以从行列式上限制出一个子群，也就是限制行列式为 $1$ .

定义：特殊正交群

如下集合关于矩阵乘法构成正交群：

$$SO(2):=\left\{M\in {\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})\mid M{M}^{\mathrm{T}}=I_2,|M|=1\right\}$$

特殊正交群又在线性变换层面上把伸缩给去掉了，相当于只剩下了旋转. 在 $n$ 维的 Euclid 空间当中，也有类似的 $O(n)$ 和 $SO(n)$ .

正交和反射

反射

反射在几何上就相当于把一个点根据一个轴对称到另一个点上，尽管反射是一个看似很简单的变换，但是组合起来实际上可以实现所有的等距同构（见作业）. 这里给出一个直观的说明.

上图是反射导出折射的方法，对 $A$ ，如果想逆时针旋转 $\theta$ ，则考虑任意两个夹角为 $\frac{\theta }{2}$ 的射线，然后分别沿着这两个射线进行反射即可.

正交投影

正交投影就是一个点往某个线上做垂线得到的投影，这种说法比较浅显，但是教材上花了很多的笔墨就是为了说明其在欧氏平面上的存在性.