数值代数作业 2

习题二 T3

证明：如果 $A=[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$ 是按列分块的，那么

$$\Vert A{\Vert }_F^2=\sum _{i=1}^n\Vert a_i{\Vert }_2^2$$

证明：考虑 $\Vert a_i{\Vert }_2^2$ 表示 $A$ 第 $i$ 列向量每个分量模的平方和，那么可知

$$\sum _{i=1}^n\Vert a_i{\Vert }_2^2=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n|a_{ij}{|}^2=\Vert A{\Vert }_F^2$$

即结论成立. $\square$

推广

如果按照行分块，上述结论依然成立，我们将应用于下一题当中.

习题二 T4

证明：$\Vert AB{\Vert }_F⩽\Vert A{\Vert }_2\Vert B{\Vert }_F$ 和 $\Vert AB{\Vert }_F⩽\Vert A{\Vert }_F\Vert B{\Vert }_2$ .

证明：对于第一个不等式，考虑对 $B$ 进行列分块有

$$B=\left(\begin{array}{cccc}{\beta }_1& {\beta }_2& \cdots & {\beta }_n\end{array}\right)$$

从而利用上一题的结论可知：

$$\begin{array}{rl}\Vert AB{\Vert }_F& =\Vert A\left(\begin{array}{cccc}{\beta }_1& {\beta }_2& \cdots & {\beta }_n\end{array}\right){\Vert }_F\\ & =\Vert \left(\begin{array}{cccc}A{\beta }_1& A{\beta }_2& \cdots & A{\beta }_n\end{array}\right){\Vert }_F\\ & ={\left(\sum _{i=1}^n\Vert A{\beta }_i{\Vert }_2^2\right)}^{\frac{1}{2}}\\ & ⩽{\left(\sum _{i=1}^n\Vert A{\Vert }_2^2\Vert {\beta }_i{\Vert }_2^2\right)}^{\frac{1}{2}}\\ & ⩽\Vert A{\Vert }_2\Vert B{\Vert }_F\end{array}$$

反过来，对 $A$ 进行行分块

$$A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^{\mathrm{T}}\\ {\alpha }_2^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\alpha }_n^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$$

并应用上一题结论同理可得第二个不等式. $\square$

习题二 T8

若 $\Vert A\Vert <1$ 且 $\Vert I\Vert =1$ ，证明

$$\Vert (I-A{)}^{-1}\Vert ⩽\frac{1}{1-\Vert A\Vert }$$

证明：根据教材上的 Neumann 引理，将左侧改为级数形式：

$$\begin{array}{rl}\Vert (I-A{)}^{-1}\Vert & =\Vert \sum _{k=0}^{\infty }{A}^k\Vert \\ & ⩽\sum _{k=0}^{\infty }\Vert A^k\Vert \\ & ⩽\sum _{k=0}^{\infty }\Vert A{\Vert }^k\\ & =\frac{1}{1-\Vert A\Vert }\end{array}$$

从而结论成立. $\square$

习题二 T9

设 $\Vert \cdot \Vert$ 是由向量范数 $\Vert \cdot \Vert$ 诱导出的矩阵范数，证明：若 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 非奇异，则

$$\Vert A^{-1}{\Vert }^{-1}=\underset{\Vert x\Vert =1}{\min }\Vert Ax\Vert$$

证明：根据 Cramer 法则，$Ax\ne 0⟺x\ne 0$ 在 $A$ 非奇异时成立. 那么有

$$\begin{array}{rl}\Vert A^{-1}\Vert & =\underset{x\ne 0}{\max }\frac{\Vert A^{-1}x\Vert }{\Vert x\Vert }\\ & =\underset{Ax\ne 0}{\max }\frac{\Vert A^{-1}Ax\Vert }{\Vert Ax\Vert }\\ & =\underset{x\ne 0}{\max }\frac{\Vert x\Vert }{\Vert Ax\Vert }\\ & =\underset{x\ne 0}{\max }\frac{1}{\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert }}\end{array}$$

从而

$$\Vert A^{-1}{\Vert }^{-1}=\underset{\Vert x\Vert =1}{\min }\Vert Ax\Vert$$

即结论成立. $\square$

习题二 T10

设 $A=LU$ 是 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 的 LU 分解，这里 $|l_{ij}|⩽1$ ，设 $a_i^{\mathrm{T}}$ 和 $u_i^{\mathrm{T}}$ 分别表示 $A$ 和 $U$ 的第 $i$ 行，验证等式

$$u_i^{\mathrm{T}}=a_i^{\mathrm{T}}-\sum _{j=1}^{i-1}{l}_{ij}{u}_j^{\mathrm{T}}$$

并用它证明 $\Vert U{\Vert }_{\infty }⩽2^{n-1}\Vert A{\Vert }_{\infty }$ .

证明：对 $A$ 当中的第 $i$ 行第 $k$ 列分量，根据矩阵乘法有

$$a_{ik}=u_{ik}+\sum _{j=1}^{i-1}{l}_{ij}{u}_{jk}$$

注意到 $k$ 遍历一遍不影响上式形式，故可以用行向量表达：

$$a_i^{\mathrm{T}}=u_i^{\mathrm{T}}+\sum _{j=1}^{i-1}{l}_{ij}{u}_j^{\mathrm{T}}$$

这就是题中的等式，根据 LU 分解有

$$\Vert L^{-1}A{\Vert }_{\infty }=\Vert U{\Vert }_{\infty }⩽\Vert L^{-1}{\Vert }_{\infty }\Vert A{\Vert }_{\infty }$$

$L^{-1}$ 是 Gauss 变换矩阵的乘积，而对于每个 Gauss 变换矩阵，由于 $|l_{ij}|⩽1$ ，每行的和最大为 $2$ ，于是

$$\Vert L^{-1}{\Vert }_{\infty }⩽2\Vert L_{n-2}^{-1}{L}_{n-3}^{-1}\cdots L_1^{-1}{\Vert }_{\infty }⩽2^2\Vert L_{n-3}^{-1}\cdots L_1^{-1}{\Vert }_{\infty }⩽\cdots ⩽2^n$$

于是

$$\Vert U{\Vert }_{\infty }⩽2^n\Vert A{\Vert }_{\infty }$$

不等式成立. $\square$