拓扑线性空间 - 第一堂课

Hamel 基

本部分讨论线性空间、TVS 当中的 Hamel 基性质.

定义：Hamel 基

设 $E$ 为线性空间，若 $H \subset E$ 满足：

$H$ 是线性无关的.

$H$ 可张成 $E$ .

则称 $H$ 是 $E$ 的 Hamel 基.

利用 Zorn 引理可以证明线性空间一定存在一组 Hamel 基，证明方法考虑以包含关系来定义偏序关系.

定理：Hamel 基的基数相同

若 $H_{1}, H_{2}$ 均为线性空间 $E$ 的 Hamel 基，那么 $H_{1}, H_{2}$ 满足 $card (H_{1}) = card (H_{2})$ .

证明： 有限情形 Trivial ，略. 无穷情形考虑任取 $z \in H_{1}$ ，那么存在有限子集 $H_{z} \subset H_{2}$ 使得 $z \in span (H_{z})$ （存在性由 Hamel 基性质保证）. 从而有

H_{2} = z \in H_{1} ⋃ H_{z} (1.1)

下面我们来证明这一点，假设存在 $y_{0} \in H_{2}$ ，使得 $y_{0} \in / H_{z}$ ，那么根据 $H_{1}$ 为 Hamel 基，此时对 $y_{0}$ 作线性展开：

y_{0} = i = 1 \sum n ξ_{j} z_{j}

其中 $z_{j} \in H_{1}$ ，于是我们考虑 $z_{j} \in H_{z_{j}}$ ，那么有

y_{0} \in span {j = 1 ⋃ n H_{z_{j}}}

这就说明了 $y_{0}$ 和 $H_{2}$ 当中的有限项合并在一起后是线性相关的，这就和 $H_{2}$ 是 Hamel 基矛盾了，因此 $(1.1)$ 成立，从而

card (H_{2}) ⩽ card (H_{1})

同理反向成立，根据 Bernstein 定理结论成立. $□$

基于上述的定理，我们可以定义线性空间的一种维数为 Hamel 维数. 需要注意的是，我们是只针对这种基定义了维数.

定义：Hamel 维数

线性空间 $E$ 的 Hamel 基的基数称为 Hamel 维数.

下面来讨论几个例子：

$c_{00}$ 的 Hamel 维数为 $ℵ_{0}$ . 这个是显然的因为我们能找到一个简单的 Hamel 基： $(1, 0, 0, 0, \dots), (0, 1, 0, 0, \dots), (0, 0, 1, 0, \dots), \dots$
$c_{0}$ 的 Hamel 维数为 $ℵ_{1}$ ，这是由于 $c_{0}$ 本身的基数就不超过 $ℵ_{1}$ ，此外 ${(t^{n})_{n} : 0 < t < 1}$ 是线性无关的，而其基数为 $ℵ_{1}$ .

定理：无穷维 Banach 空间的 Hamel 基

无穷维 Banach 空间没有可数 Hamel 基.

证明使用 Baire 纲定理，假设无穷维 Banach 空间 $X$ 具有可数的 Hamel 基，这意味着存在 ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots}$ 为 Hamel 基，定义

E_{n} = span ({x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}})

那么我们有

X = n = 1 ⋃ \infty E_{n}

根据 Baire 纲定理，存在 $E_{n_{0}}$ 包含一个非空开子集，不妨记为开球 $B (x, r)$ ，那么有

X = n = 1 ⋃ \infty n B (x, r) \subset n = 1 ⋃ \infty n E_{n_{0}} = E_{n_{0}}

其中第一个等号是开球无限扩张必定是全空间，第二个等号则是线性子空间的线性扩张必是其自身，这就说明 $X$ 是有限维的，矛盾！ $□$

定理：无穷维赋范空间的处处不连续线性泛函

证明：对无穷维赋范空间 $E$ ，存在一个线性泛函 $f$ 使得 $f$ 在 $E$ 上处处不连续.

证明： 令 $H$ 为 $E$ 的 Hamel 基，取序列

(h_{n})_{n = 1}^{\infty} \subset H

假定 $∥ h_{n} ∥ = 1$ ，那么对于任意 $x \in E$ ，都有

x = n = 1 \sum m ξ_{n} h_{n} + k = 1 \sum l η_{k} v_{k}

其中 ${v_{k}, 1 ⩽ k ⩽ l} \subset H ∖ {h_{n} : n \in N}$ . 那么我们定义：

f_{0} (x) = i = 1 \sum n i ξ_{i}

其为线性泛函是显然的，同时考虑

f_{0} (x + \frac{1}{n} h_{n}) = f_{0} (x) + \frac{1}{n} f_{0} (h_{n}) = f_{0} (x) + \frac{n}{n} \to \infty

这和连续性矛盾. $□$